Considere em Z a operação * definida por a * b=a+b+1.
a. Mostre que (Z, *) é um grupo abeliano.
b. Verifique se I=z in Z ; z é um número ímpar é um subgrupo de (Z, *).
c. (Z, *) é cíclico?

Passo 1

Resumindo o enunciado: temos a operação em Z dada por a * b = a + b + 1. Vamos mostrar que (Z, *) é um grupo abeliano, verificar se o conjunto dos ímpares é um subgrupo e decidir se o grupo é cíclico.

Passo 2

Verificando fechamento e associatividade: para quaisquer a,b,c in Z, temos a * b = a + b + 1in Z, garantindo fechamento. Além disso,
$ (a * b) * c = (a + b + 1) + c + 1 = a + b + c + 2 $
e
a * (b * c) = a + (b + c + 1) + 1 = a + b + c + 2 $.
Como ambas expressões coincidem, a operação é associativa.

Passo 3

Determinando elemento neutro e inverso: procuramos einZ tal que a * e = a. Da equação
$ a + e + 1 = a $
segue
$ e = -1 $.
Verificamos também $ e * a = -1 + a + 1 = a $, logo a + e + 1 = a é mesmo o neutro. Para o inverso de e = -1 , resolvemos
$ a * a’ = -1 $
em que
$ a + a’ + 1 = -1 $
implica
$ a’ = -a - 2 $,
que pertence a e * a = -1 + a + 1 = a .

Passo 4

Mostrando comutatividade e conclusão de grupo abeliano: para quaisquer a,binZ,
$ a * b = a + b + 1 = b + a + 1 = b * a $,
logo a operação é comutativa e a * b = a + b + 1 = b + a + 1 = b * a é de fato um grupo abeliano.

Passo 5

Teste de subgrupo em I=zinZ:z ímparí: o neutro -1 é ímpar. Se z1,z2 são ímpares,
$ z_1 * z_2 = z_1 + z_2 + 1 $
é ímpar (ímpar+ímpar=par, +1=ímpar), garantindo fechamento. O inverso de z1 * z2 = z1 + z2 + 1 é
$ -z-2 $,
que é ímpar sempre que z é ímpar. Assim -z-2 é subgrupo de z.

Passo 6

Determinando se é cíclico: para um gerador g definimos
g^*n = underbraceg * g * cdots * gn vezes
Por indução ou cálculo direto obtém-se
g^*n = n,g + (n-1)
Para que todo kinZ seja da forma k = n,g + (n-1), basta
$ k+1 = n,(g+1) $
ser divisível por k+1 = n,(g+1) para todo g+1. Isso só ocorre se k+1, ou seja, g+1=pm1 ou g=0.

Resposta

a) (Z,*) é um grupo abeliano. b) O conjunto dos ímpares é subgrupo de (Z,*). c) Sim, (Z,*) é cíclico; por exemplo, é gerado por 0 (ou por -2).

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