Considere em a operação definida por .
a. Mostre que é um grupo abeliano.
b. Verifique se é um número ímpar é um subgrupo de .
c. é cíclico?
Passo 1
Resumindo o enunciado: temos a operação em dada por . Vamos mostrar que é um grupo abeliano, verificar se o conjunto dos ímpares é um subgrupo e decidir se o grupo é cíclico.
Passo 2
Verificando fechamento e associatividade: para quaisquer , temos , garantindo fechamento. Além disso,
$ (a * b) * c = (a + b + 1) + c + 1 = a + b + c + 2 $
e
a * (b * c) = a + (b + c + 1) + 1 = a + b + c + 2 $.
Como ambas expressões coincidem, a operação é associativa.
Passo 3
Determinando elemento neutro e inverso: procuramos tal que . Da equação
$ a + e + 1 = a $
segue
$ e = -1 $.
Verificamos também $ e * a = -1 + a + 1 = a $, logo é mesmo o neutro. Para o inverso de , resolvemos
$ a * a’ = -1 $
em que
$ a + a’ + 1 = -1 $
implica
$ a’ = -a - 2 $,
que pertence a .
Passo 4
Mostrando comutatividade e conclusão de grupo abeliano: para quaisquer ,
$ a * b = a + b + 1 = b + a + 1 = b * a $,
logo a operação é comutativa e é de fato um grupo abeliano.
Passo 5
Teste de subgrupo em : o neutro é ímpar. Se são ímpares,
$ z_1 * z_2 = z_1 + z_2 + 1 $
é ímpar (ímpar+ímpar=par, +1=ímpar), garantindo fechamento. O inverso de é
$ -z-2 $,
que é ímpar sempre que é ímpar. Assim é subgrupo de .
Passo 6
Determinando se é cíclico: para um gerador definimos
Por indução ou cálculo direto obtém-se g^*n = n,g + (n-1)
Para que todo kinZ seja da forma k = n,g + (n-1), basta
$ k+1 = n,(g+1) $
ser divisível por k+1 = n,(g+1) para todo g+1. Isso só ocorre se k+1, ou seja, g+1=pm1 ou g=0.
Resposta
a) (Z,*) é um grupo abeliano. b) O conjunto dos ímpares é subgrupo de (Z,*). c) Sim, (Z,*) é cíclico; por exemplo, é gerado por 0 (ou por -2).