Considere as bases N=(n 1, n 2, n 3) e F=(f 1, f 2, f 3)
Sabendo que
& n 1=f 1+2 f 3 & n 2=f 2-f 3 & n 3=2 f 1+f 2-2 f 3
a) Monte a matriz mudança de base N para F.
b) Monte a matriz mudança de base F para N.
c) Considere o vetor g=(2,0,1) na base F e o vetor t=(0,0,2) na base N, calcule (t-g) na base F.

Passo 1

O enunciado dá duas bases de um espaço vetorial, N=(n1,n2,n3) e F=(f1,f2,f3), relacionadas por
n1&=f1+2,f3, n2&=f2-f3, n3&=2,f1+f2-2,f3
Conteúdo: mudança de base. A matriz de mudança de base de N para F tem colunas iguais às coordenadas de ni na base F; a de F para N é a inversa dessa.

Passo 2

As coordenadas de n1,n2,n3 na base F são, respectivamente, (1,0,2), (0,1,-1) e (2,1,-2). Portanto a matriz de mudança de base de N para F é
PF N = 1 & 0 & 2 0 & 1 & -1 2 & 1 & -2

Passo 3

Para obter a matriz de mudança de base de F para N calculamos a inversa de PF N. O determinante é det=-5 e, pelo método de cofatores, resulta
PN F =(PF N)^-1 =15 1 & 2 & 2 -2 & 6 & 1 2 & -1 & -1

Passo 4

O vetor vec t na base N tem coordenadas (0,0,2). Para passar à base F:
vec tF =PF N002 =221-2 =42-4

Passo 5

O vetor vec g já está dado na base F como (2,0,1). Logo as coordenadas de vec t - vec g na base F são
vec tF-vec gF =42-4 -201 =22-5

Resposta

a) PF N=1&0&20&1&-12&1&-2
b) PN F=151&2&2-2&6&12&-1&-1
c) (vec t-vec g)F=(2,2,-5)

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