Considere a seguinte base V=(v 1, v 2, v 3) e seus vetores:
& v 1=(2,3,3) & v 2=(1,0,0) & v 3=(0,2,4)
Ortonormalize a base V pelo método de Gram-Schmidt.

Passo 1

O enunciado pede para tomar a base
v1=(2,3,3), v2=(1,0,0), v3=(0,2,4) em R^3 e aplicar o método de Gram–Schmidt para obter uma base ortonormal e1, e2, e3. Vamos usar que, dado a, b,
proj a( b) = bcdot a acdot a, a,
e que a normalização de u é u/| u|, com | u|=raiz ucdot u.

Passo 2

Definimos u1= v1.
O comprimento de u1 é
| u1| =raiz2^2+3^2+3^2 =raiz22
Logo
e1 = u1| u1| =(2,3,3)raiz22

Passo 3

Subtraímos de v2 sua projeção em u1:
u2 = v2-proj u1( v2) =(1,0,0) -(1,0,0)cdot(2,3,3)22(2,3,3) =(1,0,0)-222(2,3,3)
Isso dá
u2 =l(1-411,,0-611,,0-611r) =(7,-6,-6)11
Verificamos que
| u2|^2 =7^2+(-6)^2+(-6)^211^2 =49+36+36121 =121121=1,
logo u2 já é unitário e podemos tomar
e2 = u2 =(7,-6,-6)11

Passo 4

Agora eliminamos de v3 as projeções em u1 e u2:
u3 = v3 -proj u1( v3) -proj u2( v3)
Calculamos
( v3cdot u1) =(0,2,4)cdot(2,3,3)=18, ( v3cdot u2) =(0,2,4)cdot(7,-6,-6)11 =,-3611
Logo
proj u1( v3) =1822(2,3,3) =l(1811,2711,2711r), proj u2( v3) =l(-tfrac3611r)(7,-6,-6)11 =(-252,216,216)121
Fazendo as subtrações (com denominador 121) obtemos
u3 =(0,242,484)-(198,297,297)+(252,-216,-216)121 =(54,-271,-29)121
O comprimento de u3 é
| u3| =raiz54^2+(-271)^2+(-29)^2121 =raiz77198121
Finalmente
e3 = u3| u3| =(54,-271,-29)raiz77198

Resposta

e1=(2,3,3)raiz22, e2=(7,-6,-6)11, e3=(54,-271,-29)raiz77198

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