Considere um bastão muito longo com densidade de carga
que está colocado sobre o eixo x de um sistema de referência do laboratório. (a) Calcule o fluxo através de uma superfície cilíndrica com eixo de simetria centrada no bastão, comprimento de 30 cm e raio de 10 cm . Use a definição de fluxo
. (b) Calcule o fluxo através da lei de Gauss aplicada a esta superfície.
Passo 1
O enunciado dá um bastão muito longo colocado ao longo do eixo
com densidade linear de carga
. Em (a) queremos calcular o fluxo do campo elétrico através de uma superfície cilíndrica fechada (lateral mais tampas) de raio
e comprimento
usando a definição
Em (b) vamos obter o mesmo fluxo aplicando a Lei de Gauss,
Em (b) vamos obter o mesmo fluxo aplicando a Lei de Gauss,
Passo 2
Primeiro convertemos a densidade linear para SI e obtemos o campo de um fio infinito por simetria cilíndrica.
Por simetria, o campo a uma distância
do eixo é radial e de módulo
Também passamos os comprimentos para metros:
,
Passo 3
A única parte da superfície fechada por onde o campo efetivamente “entra” ou “sai” é a lateral do cilindro, pois nas tampas o campo é paralelo às superfícies e
. Na lateral temos
constante em módulo e direção normal. Assim
Substituindo
dá
Passo 4
Agora é só colocar os valores numéricos:
Passo 5
Pela Lei de Gauss, para qualquer superfície fechada que envolva todo o bastão de comprimento
,
pois a carga interna é
.
Passo 6
Note que o resultado obtido em (b) coincide exatamente com o de (a):
,
e numericamente
e numericamente