Considere um bastão muito longo com densidade de carga \sigma=2,5 \mathrm{nC} / \mathrm{cm} que está colocado sobre o eixo x de um sistema de referência do laboratório. (a) Calcule o fluxo através de uma superfície cilíndrica com eixo de simetria centrada no bastão, comprimento de 30 cm e raio de 10 cm . Use a definição de fluxo \varphi. (b) Calcule o fluxo através da lei de Gauss aplicada a esta superfície.

Passo 1

O enunciado dá um bastão muito longo colocado ao longo do eixo x com densidade linear de carga \sigma = 2,5\,\mathrm{nC/cm}. Em (a) queremos calcular o fluxo do campo elétrico através de uma superfície cilíndrica fechada (lateral mais tampas) de raio R=10\,\mathrm{cm} e comprimento L=30\,\mathrm{cm} usando a definição
\varphi = \displaystyle\iint_{S}\mathbf{E}\cdot d\mathbf{A}.
Em (b) vamos obter o mesmo fluxo aplicando a Lei de Gauss,
\displaystyle \varphi = \frac{Q_{\text{int}}}{\varepsilon_{0}}.

Passo 2

Primeiro convertemos a densidade linear para SI e obtemos o campo de um fio infinito por simetria cilíndrica.
\lambda = \frac{2,5\times10^{-9}\,\mathrm{C}}{10^{-2}\,\mathrm{m}} =2,5\times10^{-7}\,\mathrm{C/m}.
Por simetria, o campo a uma distância r do eixo é radial e de módulo
E(r)=\frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_{0}\,r}.
Também passamos os comprimentos para metros:
R=0,10\,\mathrm{m}, L=0,30\,\mathrm{m}.

Passo 3

A única parte da superfície fechada por onde o campo efetivamente “entra” ou “sai” é a lateral do cilindro, pois nas tampas o campo é paralelo às superfícies e E\cdot dA=0. Na lateral temos E(R) constante em módulo e direção normal. Assim
\varphi =\iint_{\text{lateral}}E(R)\,dA =E(R)\,\bigl(2\pi R\,L\bigr).
Substituindo E(R)=\dfrac{\lambda}{2\pi\varepsilon_{0}R}
\varphi =\frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_{0}R}\;(2\pi R\,L) =\frac{\lambda\,L}{\varepsilon_{0}}.

Passo 4

Agora é só colocar os valores numéricos:
\varphi =\frac{(2,5\times10^{-7}\,\mathrm{C/m})\,(0,30\,\mathrm{m})} {8,85\times10^{-12}\,\mathrm{C^{2}/(N\cdot m^{2})}} \approx8,47\times10^{3}\,\mathrm{N\cdot m^{2}/C}.

Passo 5

Pela Lei de Gauss, para qualquer superfície fechada que envolva todo o bastão de comprimento L,
\varphi =\frac{Q_{\text{int}}}{\varepsilon_{0}} =\frac{\lambda\,L}{\varepsilon_{0}},
pois a carga interna é Q_{\text{int}}=\lambda\,L.

Passo 6

Note que o resultado obtido em (b) coincide exatamente com o de (a):
\displaystyle \varphi=\frac{\lambda\,L}{\varepsilon_{0}},
e numericamente \approx8,47\times10^{3}\,\mathrm{N\cdot m^{2}/C}.

Resposta

\displaystyle \varphi=\frac{\lambda\,L}{\varepsilon_{0}}\approx8,47\times10^{3}\,\mathrm{N\cdot m^{2}/C}. electromagnetic flux through the cylinder via both methods.

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