Q1: Três corpos de massas 1 \mathrm{~kg}, 2 \mathrm{~kg} e 3 kg estão num plano e localizados respectivamente nos pontos com coordenadas (x, y):(-4,3),(2,2) e (5,-1).
(a) Encontre a posição do centro de massa do sistema.
(b) Em que ponto deve ser colocado um quarto corpo, de massa 1 kg , para que o centro de massa do novo sistema fique na origem?
(c) Demonstre que, independentemente da massa do quarto corpo, para que o centro de massa ficasse na origem, o corpo teria que ser colocado na reta que faz um ângulo de 14,9^{\circ} abaixo do eixo x negativo.

Passo 1

O enunciado dá três partículas de massas m_{1}=1, m_{2}=2 e m_{3}=3 (em kg) localizadas em (x_{1},y_{1})=(-4,3), (x_{2},y_{2})=(2,2) e (x_{3},y_{3})=(5,-1).
(a) Pede-se o centro de massa (CM) do sistema.
(b) Pede-se onde colocar uma quarta massa m_{4}=1 de modo que o CM passe a ser (0,0).
(c) Pede-se mostrar que, para massa qualquer m_{4}, a posição que leva o CM à origem está numa reta que faz 14,9^\circ abaixo do eixo x negativo.
O conteúdo usado será a fórmula do CM para partículas discretas:
X_{\mathrm{CM}}=\frac{\sum m_{i}x_{i}}{\sum m_{i}},\qquad Y_{\mathrm{CM}}=\frac{\sum m_{i}y_{i}}{\sum m_{i}}.

Passo 2

Vamos calcular primeiro a soma vetorial \sum m_{i}\boldsymbol{r}_{i}. Para as componentes x e y:
\sum m_{i}x_{i} =1\cdot(-4)+2\cdot2+3\cdot5 =-4+4+15=15,
\sum m_{i}y_{i} =1\cdot3+2\cdot2+3\cdot(-1) =3+4-3=4.
A massa total é M=1+2+3=6. Então o CM é
X_{\mathrm{CM}} =\frac{15}{6}=\frac{5}{2}, \qquad Y_{\mathrm{CM}} =\frac{4}{6}=\frac{2}{3}.

Passo 3

Para (b) queremos um quarto ponto \boldsymbol{r}_{4}=(x_{4},y_{4}) com m_{4}=1 tal que o novo CM seja (0,0). A condição é
\sum_{i=1}^{3}m_{i}\boldsymbol{r}_{i} +1\cdot\boldsymbol{r}_{4} =\boldsymbol{0}.
Como \sum_{i=1}^{3}m_{i}\boldsymbol{r}_{i}=(15,4), tem-se
(x_{4},y_{4})=-(15,4)=(-15,-4).

Passo 4

Para (c) tomemos m_{4} genérico. A mesma condição de CM na origem dá
\sum_{i=1}^{3}m_{i}\boldsymbol{r}_{i} +m_{4}\boldsymbol{r}_{4} =\boldsymbol{0} \quad\Longrightarrow\quad \boldsymbol{r}_{4} =-\frac{(15,4)}{m_{4}} =\Bigl(-\tfrac{15}{m_{4}},-\tfrac{4}{m_{4}}\Bigr).
Isso mostra que (x_{4},y_{4}) satisfaz
y_{4}=\frac{4}{15}\,x_{4},
ou seja, está numa reta de coeficiente angular 4/15. A inclinação é
\theta=\arctan\!\bigl(\tfrac{4}{15}\bigr)\approx14,9^\circ.
Como x_{4}<0 e y_{4}<0, a reta fica 14,9^\circ abaixo do eixo x negativo.

Resposta

(a) \bigl(\tfrac{5}{2},\tfrac{2}{3}\bigr).
(b) (-15,-4).
(c) A posição genérica \bigl(-\tfrac{15}{m_{4}},-\tfrac{4}{m_{4}}\bigr) satisfaz y=(4/15)x, ou seja, é a reta que faz 14,9^\circ abaixo do eixo x negativo.

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