Considere beta:[1,2] R^2 onde beta(t)=(c^t cos t, e^t sen t)
a) Calcule o vetor tagente e o vetor normal de beta(t). 0.6
b) Calcule o comprimento de arco da curva. 1.3

Passo 1

O enunciado pede para a curva β(t)=(e^t cos t, e^t sin t) em [1,2] a) o vetor tangente unitário e o vetor normal principal; b) o comprimento de arco. Vamos usar derivada de curva paramétrica, definição de vetor tangente unitário T=β’/‖β’‖, vetor normal N=T’/‖T’‖ e comprimento de arco S=∫‖β’‖dt.

Passo 2

Começamos calculando a derivada β’(t). Aplicando regra do produto em cada coordenada:
beta'(t)=l(ddt(e^tcos t),,ddt(e^tsin t)r)=l(e^tcos t-e^tsin t,,e^tsin t+e^tcos tr)

Passo 3

Agora encontramos a norma de β’(t):
|β'(t)|=raiz(e^t(cos t-sin t))^2+(e^t(sin t+cos t))^2=e^traiz2
Então o vetor tangente unitário é
T(t)=β'(t)|β'(t)|=1raiz2(cos t-sin t,,sin t+cos t)

Passo 4

Para obter o vetor normal, derivamos T(t) e normalizamos. A derivada é
T'(t)=1raiz2l(-sin t-cos t,,cos t-sin tr)
Como |T'(t)|=1, o vetor normal principal fica
N(t)=T'(t)=1raiz2l(-sin t-cos t,,cos t-sin tr)

Passo 5

Finalmente, o comprimento de arco de t=1 a t=2 é
S=integral1^2|β'(t)|,dt=integral1^2e^traiz2,dt=raiz2l[e^tr]1^2=raiz2(e^2-e)

Resposta

T(t)=1raiz2(cos t-sin t,,sin t+cos t), N(t)=1raiz2(-sin t-cos t,,cos t-sin t), S=raiz2(e^2-e)

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