Considere
onde
a) Calcule o vetor tagente e o vetor normal de
. 0.6
b) Calcule o comprimento de arco da curva. 1.3
a) Calcule o vetor tagente e o vetor normal de
b) Calcule o comprimento de arco da curva. 1.3
Passo 1
O enunciado pede para a curva β(t)=(e^t cos t, e^t sin t) em [1,2] a) o vetor tangente unitário e o vetor normal principal; b) o comprimento de arco. Vamos usar derivada de curva paramétrica, definição de vetor tangente unitário T=β’/‖β’‖, vetor normal N=T’/‖T’‖ e comprimento de arco S=∫‖β’‖dt.
Passo 2
Começamos calculando a derivada β’(t). Aplicando regra do produto em cada coordenada:
Passo 3
Agora encontramos a norma de β’(t):
Então o vetor tangente unitário é
Passo 4
Para obter o vetor normal, derivamos T(t) e normalizamos. A derivada é
Como
, o vetor normal principal fica
Passo 5
Finalmente, o comprimento de arco de t=1 a t=2 é