Determinar uma equação geral do plano nos seguintes casos:
O plano contém a reta
r:l x=2+t y=1-t z=3+2 t
e é perpendicular ao plano pi1: 2 x+2 y-3 z=0.

Passo 1

O enunciado pede a equação geral de um plano que contém a reta
r: x=2+t, y=1-t, z=3+2t
e é perpendicular ao plano
pi1:2x+2y-3z=0
O conteúdo usado será: 1) um plano é determinado por sua normal n e pela condição ncdotv=0 para qualquer vetor diretor v da reta contida; 2) dois planos são perpendiculares se e somente se seus vetores normais são ortogonais, isto é, ncdotn1=0.

Passo 2

Extraímos da reta r um ponto P0 e seu vetor diretor vr. Tomando t=0 em r,
P0=(2,1,3)
O vetor diretor é
vr=(1,-1,2)
Como o plano procurado contém r, o seu vetor normal n=(a,b,c) deve satisfazer
ncdotvr=0 Longrightarrow acdot1+bcdot(-1)+ccdot2=0

Passo 3

Para que o plano seja perpendicular a
Resolvendo o sistema
podemos obter um vetor (\mathbf{n}] não-nulo. Mais rápido, calculamos

Passo 4

A equação geral do plano com normal n=(-1,7,4) que passa por P0=(2,1,3) é
-1,(x-2)+7,(y-1)+4,(z-3)=0
Expandindo e passando tudo para o lado esquerdo, obtemos
-x+2+7y-7+4z-12=0 Longrightarrow -x+7y+4z-17=0

Resposta

-x+7y+4z-17=0
ou, equivalentemente,
x-7y-4z+17=0

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