a) Considere a curva theta: R R^2 dada por
theta(t)=(t^3-3 t, t^3-5 t-1)
Determine se alpha é uma curva parametrizada regular.
Em que pontos a reta tangente de theta é vertical?.
b) Determine uma parametrização diferenciável alpha:[0,2 pi] R^2 de uma curva cujo traço seja a circunferência de raio 2 , centrada na origem, tal que alpha(t) percorra em sentido horario so redor da circunferencia e com alpha(0)=(-2,0). times

Passo 1

Resumo do enunciado: temos a curva parametrizada theta(t)=(t^3-3t,,t^3-5t-1). Na parte (a) vamos verificar se theta é regular (ou seja, theta'(t)neq0 para todo t) e encontrar onde a reta tangente é vertical. Na parte (b) precisamos dar uma parametrização diferenciável alpha:[0,2pi]to R^2 da circunferência de raio 2 centrada na origem, percorrendo-a em sentido horário e com alpha(0)=(-2,0).

Passo 2

Para checar regularidade, calculamos o vetor derivada de theta. Pela definição,
theta'(t)=l(x'(t),y'(t)r)=l(3t^2-3,,3t^2-5r)
Uma curva é regular se theta'(t)neq(0,0) para todo t. Vamos ver se há t tal que ambos os componentes se anulem:
3t^2-3=0Rightarrow t^2=1Rightarrow t=pm1
Mas em t=pm1 o segundo componente é 3(1)-5=-2neq0. Logo nunca temos theta'(t)=(0,0) e a curva é regular em todo R.

Passo 3

Agora, reta tangente vertical ocorre quando x'(t)=0 e y'(t)neq0. Do componente x'(t)=3t^2-3=0 vem t=pm1; em ambos y'(pm1)=-2neq0. Portanto, a reta tangente é vertical em t=1 e t=-1.

Passo 4

Para a parte (b), sabemos que a parametrização usual (2cos t,2sin t) percorre a circunferência no sentido anti-horário. Para inverter o sentido, podemos trocar t por -t. Então
l(2cos(-t),2sin(-t)r)=(2cos t,-2sin t)
segue horário, mas em t=0 (2,0). Para começar em (-2,0), basta adicionar uma fase de pi:
alpha(t)=l(2cos(pi - t),2sin(pi - t)r) =l(-2cos t,2sin tr)
Testando o sentido vemos que em t=0 temos (-2,0) e a derivada aponta para baixo, caracterizando movimento horário. Portanto essa parametrização satisfaz todas as condições.

Resposta

a) A curva theta é regular para todo tin R e sua reta tangente é vertical em t=1 e t=-1. b) Uma parametrização diferenciável adequada é alpha(t)=l(-2cos t,,2sin tr), tin[0,2pi], que percorre a circunferência de raio 2 em sentido horário com alpha(0)=(-2,0).

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