a) Considere a curva
dada por
Determine se
é uma curva parametrizada regular.
Em que pontos a reta tangente de
é vertical?.
b) Determine uma parametrização diferenciável
de uma curva cujo traço seja a circunferência de raio 2 , centrada na origem, tal que
percorra em sentido horario so redor da circunferencia e com
.
Em que pontos a reta tangente de
b) Determine uma parametrização diferenciável
Passo 1
Resumo do enunciado: temos a curva parametrizada
. Na parte (a) vamos verificar se
é regular (ou seja,
para todo
) e encontrar onde a reta tangente é vertical. Na parte (b) precisamos dar uma parametrização diferenciável
da circunferência de raio 2 centrada na origem, percorrendo-a em sentido horário e com
.
Passo 2
Para checar regularidade, calculamos o vetor derivada de
. Pela definição,
Uma curva é regular se
para todo
. Vamos ver se há
tal que ambos os componentes se anulem:
Mas em
o segundo componente é
. Logo nunca temos
e a curva é regular em todo
.
Passo 3
Agora, reta tangente vertical ocorre quando
e
. Do componente
vem
; em ambos
. Portanto, a reta tangente é vertical em
e
.
Passo 4
Para a parte (b), sabemos que a parametrização usual
percorre a circunferência no sentido anti-horário. Para inverter o sentido, podemos trocar
por
. Então
segue horário, mas em
dá
. Para começar em
, basta adicionar uma fase de
:
Testando o sentido vemos que em
temos
e a derivada aponta para baixo, caracterizando movimento horário. Portanto essa parametrização satisfaz todas as condições.
Resposta
a) A curva
é regular para todo
e sua reta tangente é vertical em
e
. b) Uma parametrização diferenciável adequada é
,
, que percorre a circunferência de raio 2 em sentido horário com
.