Considere \beta:[1,2] \rightarrow \mathbb{R}^{2} onde \beta(t)=\left(t, t^{2}-\frac{1}{8} \ln t\right).
\beta é uma curva parametrizada regular C^{\infty} ? Calcule o vetor tangente e o vetor normal à curva \beta.

Passo 1

O enunciado define a curva
\beta:[1,2]\to\mathbb{R}^2,\quad \beta(t)=\bigl(x(t),y(t)\bigr)=\Bigl(t,\;t^2-\tfrac18\ln t\Bigr)
e pede para verificar se ela é de classe C^\infty e regular (ou seja, \beta'(t)\neq0 em [1,2]), além de encontrar o vetor tangente e o vetor normal à curva.

Passo 2

As componentes x(t)=t e y(t)=t^2-\tfrac18\ln t são combinações de funções polinomiais e logarítmicas, todas C^\infty em (0,\infty), logo em particular em [1,2]. Calculamos a derivada:
\beta'(t)=\bigl(x'(t),\,y'(t)\bigr) =(1,\;2t-\tfrac1{8t}).
Para t\in[1,2] tem-se
2t-\tfrac1{8t}\ge 2\cdot1-\tfrac1{8\cdot1}=\tfrac{15}{8}>0,
então \beta'(t)\neq(0,0). Assim \beta é C^\infty e regular.

Passo 3

O vetor tangente propriamente dito é
\beta'(t)=\bigl(1,\;2t-\tfrac1{8t}\bigr).
Se quisermos o versor tangente unitário definimos
T(t) =\frac{\beta'(t)}{\|\beta'(t)\|} =\frac{\bigl(1,\;2t-\tfrac1{8t}\bigr)} {\sqrt{1+\bigl(2t-\tfrac1{8t}\bigr)^2}}.

Passo 4

Em \mathbb{R}^2, um vetor normal unitário (o versor normal principal) pode ser obtido girando T(t) em +90^\circ. Assim
N(t) =\bigl(-T_2(t),\,T_1(t)\bigr) =\frac{\bigl(-\bigl(2t-\tfrac1{8t}\bigr),\,1\bigr)} {\sqrt{1+\bigl(2t-\tfrac1{8t}\bigr)^2}}.

Resposta

A curva \beta é de classe C^\infty e regular em [1,2].
O vetor tangente é
\beta'(t)=\bigl(1,\;2t-\tfrac1{8t}\bigr),
e o versor tangente é
T(t)=\frac{\bigl(1,\;2t-\tfrac1{8t}\bigr)} {\sqrt{1+\bigl(2t-\tfrac1{8t}\bigr)^2}}.
O versor normal principal é
N(t) =\frac{\bigl(-\bigl(2t-\tfrac1{8t}\bigr),\,1\bigr)} {\sqrt{1+\bigl(2t-\tfrac1{8t}\bigr)^2}}.

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