Determine:
f_{t}, para f(x, y)=\frac{x^{2}}{2+\cos (y)}, onde x(t)=e^{t} e y(t)=e^{-t}

Passo 1

O enunciado pede a derivada em relação a t da função composta
f(x,y)=\frac{x^{2}}{2+\cos(y)}
onde
x(t)=e^{t}, \quad y(t)=e^{-t}.
O conteúdo matemático que vamos usar é a regra da cadeia para funções de duas variáveis, ou seja,
\frac{d}{dt}f\bigl(x(t),y(t)\bigr) = f_{x}(x,y)\,x'(t) + f_{y}(x,y)\,y'(t).

Passo 2

Vamos calcular as derivadas parciais de f. Escrevendo
f(x,y)=x^{2}\cdot (2+\cos(y))^{-1},
temos
f_{x}(x,y) =2x\cdot(2+\cos(y))^{-1} =\frac{2x}{2+\cos(y)},
e
f_{y}(x,y) =x^{2}\cdot\frac{d}{dy}\bigl(2+\cos(y)\bigr)^{-1} =x^{2}\cdot(-1)\,(2+\cos(y))^{-2}\cdot(-\sin(y)) =\frac{x^{2}\,\sin(y)}{(2+\cos(y))^{2}}.

Passo 3

Agora calculamos as derivadas de x(t) e y(t):
x'(t)=\frac{d}{dt}e^{t}=e^{t}, \qquad y'(t)=\frac{d}{dt}e^{-t}=-e^{-t}.

Passo 4

Aplicando a regra da cadeia:
\frac{d}{dt}f\bigl(x(t),y(t)\bigr) = f_{x}(x,y)\,x'(t) + f_{y}(x,y)\,y'(t).

Passo 5

Substituindo x=e^{t}, y=e^{-t}, x'=e^{t} e y'=-e^{-t}:
\frac{d}{dt}f =\frac{2x}{2+\cos(y)}\;x' \;+\;\frac{x^{2}\sin(y)}{(2+\cos(y))^{2}}\;y' =\frac{2e^{t}}{2+\cos(e^{-t})}\,e^{t} \;+\;\frac{e^{2t}\,\sin(e^{-t})}{\bigl(2+\cos(e^{-t})\bigr)^{2}}\;(-e^{-t}).
Simplificando:
\frac{d}{dt}f =\frac{2e^{2t}}{2+\cos(e^{-t})} -\frac{e^{t}\,\sin(e^{-t})}{\bigl(2+\cos(e^{-t})\bigr)^{2}}.

Resposta

f_{t}(t) =\frac{2e^{2t}}{2+\cos(e^{-t})} -\frac{e^{t}\,\sin(e^{-t})}{\bigl(2+\cos(e^{-t})\bigr)^{2}}.

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