Determine:
g_{u} e g_{v}, para g(x, y)=\frac{x^{2}+y^{2}}{x^{2}-y^{2}}\, onde \(x(u, v)=e^{-u-v} e y(u, v)=e^{u v})

Passo 1

O enunciado define a função de duas variáveis
g(x,y)=\frac{x^{2}+y^{2}}{x^{2}-y^{2}}
e uma parametrização
x(u,v)=e^{-u-v},\quad y(u,v)=e^{u v},
e pede as derivadas parciais \,g_{u} e g_{v}. Vamos usar o teorema da cadeia, que diz
g_{u}=g_{x}\,x_{u}+g_{y}\,y_{u}, \quad g_{v}=g_{x}\,x_{v}+g_{y}\,y_{v},
onde g_{x} e g_{y} são as derivadas parciais de g em relação a x e y.

Passo 2

Calculamos g_{x} e g_{y} por quociente: seja N=x^{2}+y^{2} e D=x^{2}-y^{2}. Então
g_{x} =\frac{\partial}{\partial x}\Bigl(\frac{N}{D}\Bigr) =\frac{2x\,D - N\,2x}{D^{2}} =\frac{2x(x^{2}-y^{2})-2x(x^{2}+y^{2})}{(x^{2}-y^{2})^{2}} =\frac{-4x\,y^{2}}{(x^{2}-y^{2})^{2}},
g_{y} =\frac{\partial}{\partial y}\Bigl(\frac{N}{D}\Bigr) =\frac{2y\,D - N\,(-2y)}{D^{2}} =\frac{2y(x^{2}-y^{2})+2y(x^{2}+y^{2})}{(x^{2}-y^{2})^{2}} =\frac{4x^{2}\,y}{(x^{2}-y^{2})^{2}}.

Passo 3

Derivamos x(u,v) e y(u,v):
x_{u}=\frac{\partial}{\partial u}e^{-u-v}=-e^{-u-v}=-x, \quad x_{v}=\frac{\partial}{\partial v}e^{-u-v}=-e^{-u-v}=-x,
y_{u}=\frac{\partial}{\partial u}e^{u v}=v\,e^{u v}=v\,y, \quad y_{v}=\frac{\partial}{\partial v}e^{u v}=u\,e^{u v}=u\,y.

Passo 4

Aplicando o teorema da cadeia:
g_{u} =g_{x}\,x_{u}+g_{y}\,y_{u} =\frac{-4x\,y^{2}}{(x^{2}-y^{2})^{2}}(-x) +\frac{4x^{2}\,y}{(x^{2}-y^{2})^{2}}(v\,y) =\frac{4x^{2}y^{2}}{(x^{2}-y^{2})^{2}}\,(1+v),
g_{v} =g_{x}\,x_{v}+g_{y}\,y_{v} =\frac{-4x\,y^{2}}{(x^{2}-y^{2})^{2}}(-x) +\frac{4x^{2}\,y}{(x^{2}-y^{2})^{2}}(u\,y) =\frac{4x^{2}y^{2}}{(x^{2}-y^{2})^{2}}\,(1+u).

Passo 5

Substituindo x=e^{-u-v} e y=e^{u v}, temos
x^{2}y^{2} =e^{-2(u+v)}\,e^{2u v} =e^{2(u v -u -v)}, \quad x^{2}-y^{2} =e^{-2(u+v)}-e^{2u v},
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g_{u} =\frac{4\,e^{2(u v -u -v)}\,(1+v)} {\bigl(e^{-2(u+v)}-e^{2u v}\bigr)^{2}}, \quad g_{v} =\frac{4\,e^{2(u v -u -v)}\,(1+u)} {\bigl(e^{-2(u+v)}-e^{2u v}\bigr)^{2}}.

Resposta

g_{u} =\frac{4\,e^{2(u v -u -v)}\,(1+v)} {\bigl(e^{-2(u+v)}-e^{2u v}\bigr)^{2}}, \quad g_{v} =\frac{4\,e^{2(u v -u -v)}\,(1+u)} {\bigl(e^{-2(u+v)}-e^{2u v}\bigr)^{2}}.

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