Encontre todas as derivadas parciais de primeira ordem:
f(x, y)=\tan \left(\frac{x}{y^{2}}\right).

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x,y)=\tan\!\Bigl(\frac{x}{y^{2}}\Bigr)
e pede as derivadas parciais de primeira ordem. Vamos usar a regra da cadeia para funções compostas, lembrando que se f(u)=\tan(u) então f'(u)=\operatorname{sec}^{2}(u), e depois multiplicar pelas derivadas parciais de u(x,y).

Passo 2

Definimos a função interna
u(x,y) = \frac{x}{y^{2}}.
Para derivar em relação a x, y é tratado como constante, logo
\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{1}{y^{2}}.

Passo 3

Aplicando a regra da cadeia em f(x,y)=\tan(u) para obter
\frac{\partial f}{\partial x} = \operatorname{sec}^{2}\bigl(u(x,y)\bigr)\;\frac{\partial u}{\partial x} = \operatorname{sec}^{2}\!\Bigl(\frac{x}{y^{2}}\Bigr)\cdot\frac{1}{y^{2}}.

Passo 4

Agora derivamos u(x,y)=x\,y^{-2} em relação a y. Aqui x é constante, então
\frac{\partial u}{\partial y} = x\cdot(-2)\,y^{-3} = -\frac{2x}{y^{3}}.

Passo 5

Usando novamente a regra da cadeia para \partial f/\partial y, temos
\frac{\partial f}{\partial y} = \operatorname{sec}^{2}\bigl(u(x,y)\bigr)\;\frac{\partial u}{\partial y} = \operatorname{sec}^{2}\!\Bigl(\frac{x}{y^{2}}\Bigr)\cdot\biggl(-\frac{2x}{y^{3}}\biggr).

Resposta

\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{1}{y^{2}}\;\operatorname{sec}^{2}\!\Bigl(\frac{x}{y^{2}}\Bigr),
\frac{\partial f}{\partial y} = -\frac{2x}{y^{3}}\;\operatorname{sec}^{2}\!\Bigl(\frac{x}{y^{2}}\Bigr).

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