Encontre todas as derivadas parciais de primeira ordem:
f(x, y, z, w)=\cos \left(z^{2} w^{3}+x\right).

Passo 1

O enunciado pede as derivadas parciais de primeira ordem de
f(x,y,z,w)=\cos\bigl(z^{2}w^{3}+x\bigr).
O conteúdo principal é a regra da cadeia em funções de várias variáveis. Vamos tratar o argumento interno de \cos como uma função auxiliar.

Passo 2

Definimos
u(x,y,z,w)=z^{2}w^{3}+x,
de modo que f(x,y,z,w)=\cos\bigl(u(x,y,z,w)\bigr). Para cada derivada parcial, usaremos
\frac{\partial f}{\partial v} =-\sin\bigl(u\bigr)\,\frac{\partial u}{\partial v},
onde v é x,y,z ou w.

Passo 3

Calculamos \displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}. Como
\frac{\partial u}{\partial x}=1,
segue que
\frac{\partial f}{\partial x} =-\sin\bigl(u\bigr)\cdot1 =-\sin\bigl(z^{2}w^{3}+x\bigr).

Passo 4

Calculamos \displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}. Note que u não depende de y, logo
\frac{\partial u}{\partial y}=0 \quad\Longrightarrow\quad \frac{\partial f}{\partial y} =-\sin\bigl(u\bigr)\cdot0 =0.

Passo 5

Calculamos \displaystyle \frac{\partial f}{\partial z}. Como
\frac{\partial u}{\partial z} =2z\,w^{3},
temos
\frac{\partial f}{\partial z} =-\sin\bigl(u\bigr)\cdot2z\,w^{3} =-2z\,w^{3}\,\sin\bigl(z^{2}w^{3}+x\bigr).

Passo 6

Calculamos \displaystyle \frac{\partial f}{\partial w}. Como
\frac{\partial u}{\partial w} =3z^{2}\,w^{2},
segue
\frac{\partial f}{\partial w} =-\sin\bigl(u\bigr)\cdot3z^{2}\,w^{2} =-3z^{2}\,w^{2}\,\sin\bigl(z^{2}w^{3}+x\bigr).

Resposta

\frac{\partial f}{\partial x} =-\sin\bigl(z^{2}w^{3}+x\bigr),\quad \frac{\partial f}{\partial y}=0,
\frac{\partial f}{\partial z} =-2z\,w^{3}\,\sin\bigl(z^{2}w^{3}+x\bigr),\quad \frac{\partial f}{\partial w} =-3z^{2}\,w^{2}\,\sin\bigl(z^{2}w^{3}+x\bigr).

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