Considere \beta:[1,2] \rightarrow \mathbb{R}^{2} onde \beta(t)=\left(e^{t} \cos t, e^{t} \operatorname{sen} t\right)
a) Calcule o vetor tagente e o vetor normal de \beta(t).
b) Calcule o comprimento de arco da curva.

Passo 1

O enunciado define a curva \beta:[1,2]\to\mathbb{R}^2 por
\beta(t)=\bigl(e^t\cos t,\;e^t\sin t\bigr).
Queremos (a) o vetor tangente unitário T(t) e o vetor normal unitário N(t), e (b) o comprimento de arco de t=1 a t=2. Vamos usar derivadas de funções vetoriais, normalização e a fórmula de comprimento de arco.

Passo 2

Calcular \beta'(t). Para
x(t)=e^t\cos t,\quad y(t)=e^t\sin t,
temos
x'(t)=e^t\cos t - e^t\sin t = e^t(\cos t - \sin t),
y'(t)=e^t\sin t + e^t\cos t = e^t(\sin t + \cos t).
Logo
\beta'(t)=\bigl(e^t(\cos t - \sin t),\;e^t(\sin t + \cos t)\bigr).

Passo 3

Normalizar \beta'(t) para obter o vetor tangente unitário
T(t)=\frac{\beta'(t)}{\|\beta'(t)\|}.
Primeiro o módulo:
\|\beta'(t)\| =\sqrt{e^{2t}(\cos t - \sin t)^2 + e^{2t}(\sin t + \cos t)^2} =e^t\sqrt{(\cos t - \sin t)^2+(\sin t + \cos t)^2} =e^t\sqrt{2}.
Então
T(t) =\frac{1}{e^t\sqrt{2}}\bigl(e^t(\cos t - \sin t),\,e^t(\sin t + \cos t)\bigr) =\frac{1}{\sqrt{2}}\bigl(\cos t - \sin t,\;\sin t + \cos t\bigr).

Passo 4

Calcular o vetor normal unitário N(t). Primeiro derivamos T(t):
T'(t) =\frac{1}{\sqrt{2}}\bigl(-\sin t - \cos t,\;\cos t - \sin t\bigr).
O módulo de T'(t) é
\|T'(t)\| =\frac{1}{\sqrt{2}}\sqrt{(\sin t + \cos t)^2+(\cos t - \sin t)^2} =\frac{1}{\sqrt{2}}\sqrt{2} =1.
Como \|T'(t)\|=1, temos já N(t)=T'(t). Logo
N(t) =\frac{1}{\sqrt{2}}\bigl(-(\sin t + \cos t),\;\cos t - \sin t\bigr).

Passo 5

Calcular o comprimento de arco de t=1 a t=2. A fórmula é
L=\int_{1}^{2}\|\beta'(t)\|\,dt =\int_{1}^{2}e^t\sqrt{2}\,dt =\sqrt{2}\bigl[e^t\bigr]_{1}^{2} =\sqrt{2}\bigl(e^2-e^1\bigr).

Resposta

a)
T(t)=\frac{1}{\sqrt{2}}\bigl(\cos t-\sin t,\;\sin t+\cos t\bigr), \quad N(t)=\frac{1}{\sqrt{2}}\bigl(-(\sin t+\cos t),\;\cos t-\sin t\bigr).
b)
L=\sqrt{2}\,\bigl(e^2 - e\bigr).

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