Suponha que a velocidade de leitura de um livro seja proporcional à quantidade restante de páginas a ler. Determine a quantidade lida em função do tempo, partindo do início do livro no instante zero. (2pts)
Passo 1
O enunciado diz que a velocidade de leitura é proporcional à quantidade de páginas que ainda faltam ler. Esse problema se reduz a uma equação diferencial de primeira ordem que descreve um decaimento exponencial. Para resolver, vamos modelar a quantidade de páginas lidas em função do tempo, usar condições iniciais e integrar a EDO resultante.
Passo 2
Seja
o número total de páginas do livro e
a quantidade de páginas já lidas no instante
. Então a quantidade que ainda resta ler é
Como a velocidade de leitura
é proporcional ao que resta, escrevemos
onde
é a constante de proporcionalidade.
Passo 3
Para resolver
separamos variáveis:
Integrando ambos os lados, obtemos
onde
é a constante de integração.
Passo 4
Exponentiando, fica
com
. Como no instante inicial
ainda não lemos nada,
, logo
Portanto
Passo 5
Isolando
, a quantidade de páginas lidas até o tempo
é
Resposta
onde
é o total de páginas e
a constante de proporcionalidade.