Suponha que a velocidade de leitura de um livro seja proporcional à quantidade restante de páginas a ler. Determine a quantidade lida em função do tempo, partindo do início do livro no instante zero. (2pts)

Passo 1

O enunciado diz que a velocidade de leitura é proporcional à quantidade de páginas que ainda faltam ler. Esse problema se reduz a uma equação diferencial de primeira ordem que descreve um decaimento exponencial. Para resolver, vamos modelar a quantidade de páginas lidas em função do tempo, usar condições iniciais e integrar a EDO resultante.

Passo 2

Seja N o número total de páginas do livro e S(t) a quantidade de páginas já lidas no instante t. Então a quantidade que ainda resta ler é
N - S(t).
Como a velocidade de leitura \frac{dS}{dt} é proporcional ao que resta, escrevemos
\frac{dS}{dt} = k\bigl(N - S(t)\bigr),
onde k>0 é a constante de proporcionalidade.

Passo 3

Para resolver
\frac{dS}{dt} = k\bigl(N - S\bigr),
separamos variáveis:
\frac{dS}{N - S} = k\,dt.
Integrando ambos os lados, obtemos
-\,\ln\bigl(N - S\bigr) = kt + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 4

Exponentiando, fica
N - S(t) = A\,e^{-kt},
com A = e^{-C}. Como no instante inicial t=0 ainda não lemos nada, S(0)=0, logo
N - 0 = A\,e^{0}\quad\Longrightarrow\quad A = N.
Portanto
N - S(t) = N\,e^{-kt}.

Passo 5

Isolando S(t), a quantidade de páginas lidas até o tempo t é
S(t) \;=\; N \;-\; N\,e^{-kt} \;=\; N\bigl(1 - e^{-kt}\bigr).

Resposta

S(t) = N\bigl(1 - e^{-kt}\bigr),
onde N é o total de páginas e k a constante de proporcionalidade.

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