Se f(x, y)=4 x^{2}+x y+9 y^{2}, encontre (a) \nabla f(1,2) e (b) A derivada direcional D_{u} f(1,2), onde \vec{u} é o vetor unitário na direção de \vec{v}=4 \vec{i}-3 \vec{j}:

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x,y)=4x^{2}+xy+9y^{2}
e pede (a) o gradiente em (1,2) e (b) a derivada direcional em (1,2) na direção do vetor unitário em torno de \vec v=(4,-3). Vamos usar conceitos de derivadas parciais, gradiente e produto escalar.

Passo 2

Calcular as derivadas parciais de f:
\frac{\partial f}{\partial x}(x,y) =8x+y, \qquad \frac{\partial f}{\partial y}(x,y) =x+18y.

Passo 3

Avaliar essas parciais em (x,y)=(1,2):
\frac{\partial f}{\partial x}(1,2)=8\cdot1+2=10, \qquad \frac{\partial f}{\partial y}(1,2)=1+18\cdot2=37.
Logo
\nabla f(1,2)=(10,37).

Passo 4

Para achar o vetor unitário \vec u na direção de \vec v=(4,-3), primeiro a norma de \vec v:
\|\vec v\|=\sqrt{4^{2}+(-3)^{2}}=\sqrt{16+9}=5.
Então
\vec u=\frac{\vec v}{\|\vec v\|} =\Bigl(\frac{4}{5},-\frac{3}{5}\Bigr).

Passo 5

A derivada direcional de f em (1,2) na direção \vec u é o produto escalar
D_{u}f(1,2) =\nabla f(1,2)\cdot\vec u =(10,37)\cdot\Bigl(\frac{4}{5},-\frac{3}{5}\Bigr) =\frac{10\cdot4+37\cdot(-3)}{5} =\frac{40-111}{5} =-\frac{71}{5}.

Resposta

(a) \nabla f(1,2)=(10,37)
(b) D_{u}f(1,2)=-\tfrac{71}{5}

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