a) Considere a curva \alpha: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^{2} dada por
\alpha(t)=\left(t^{3}-3 t, t^{3}-5 t-1\right)
Determine a reta tangente à curva no ponto correspondente a t=2.
Em que pontos a reta tangente de \alpha é: (i) vertical e (ii) horizontal
b) Desenhe e descreva completamente os conjuntos de nível do seguinte campo escalar f: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}, dado por : 1.2
f(x, y, z)=x^{2}+z^{2}

Passo 1

O enunciado tem duas partes.
(a) A curva \alpha:\mathbb{R}\to\mathbb{R}^2 é dada por
\alpha(t)=\bigl(t^3-3t,\;t^3-5t-1\bigr),
e pede (i) a reta tangente a \alpha no ponto correspondente a t=2 e (ii) em que pontos a reta tangente é vertical ou horizontal.
(b) O campo escalar f:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R} é
f(x,y,z)=x^2+z^2,
e pede-se desenhar e descrever completamente os seus conjuntos de nível f^{-1}\text{(c)}.

Passo 2

Vamos calcular a derivada de \alpha. Como
\alpha(t) = \bigl(x(t),\,y(t)\bigr) \quad\text{com}\quad x(t)=t^3-3t,\quad y(t)=t^3-5t-1,
temos
x'(t)=3t^2-3, \quad y'(t)=3t^2-5.

Passo 3

Para a reta tangente em t=2, primeiro encontramos o ponto
\alpha(2)=\bigl(2^3-3\cdot2,\;2^3-5\cdot2-1\bigr) =(2,\,-3).
A inclinação da tangente é
m=\frac{y'(2)}{x'(2)} =\frac{3\cdot2^2-5}{3\cdot2^2-3} =\frac{12-5}{12-3} =\frac{7}{9}.
Logo a equação da reta em forma ponto-inclinação é
y+3=\frac{7}{9}\,(x-2).

Passo 4

(i) Para reta tangente vertical queremos x'(t)=0 e y'(t)\neq0.
x'(t)=3t^2-3=0\;\Longrightarrow\;t^2=1\;\Longrightarrow\;t=\pm1.
Em t=\pm1 verifica-se y'(t)=3-5=-2\neq0. Os pontos são
\alpha(1)=(-2,-5), \quad \alpha(-1)=(2,3).
(ii) Para reta tangente horizontal queremos y'(t)=0 e x'(t)\neq0.
y'(t)=3t^2-5=0\;\Longrightarrow\;t^2=\tfrac{5}{3}\;\Longrightarrow\;t=\pm\sqrt{\tfrac{5}{3}}.
Nesses valores x'(t)=3\cdot\frac{5}{3}-3=2\neq0. Os pontos são
\alpha\bigl(\pm\sqrt{\tfrac{5}{3}}\bigr) =\Bigl(-\tfrac{4}{3}\,t,\,-\tfrac{10}{3}\,t-1\Bigr) \quad\text{com }t=\pm\sqrt{\tfrac{5}{3}}.

Passo 5

Para o campo f(x,y,z)=x^2+z^2, o conjunto de nível de valor c é
f^{-1}\text{(c)}=\bigl\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3\mid x^2+z^2=c\bigr\}.
  • Se c<0, não há solução (conjunto vazio).
  • Se c=0, então x=0 e z=0, sobra a reta \{(0,y,0)\mid y\in\mathbb{R}\}.
  • Se c>0, temos o cilindro circular de raio \sqrt{c} em torno do eixo y:
x^2+z^2=c, \quad y\text{ livre}.

Resposta

(a) A reta tangente em t=2 é
y+3=\frac{7}{9}\,(x-2).
(i) Tangente vertical em \alpha(1)=(-2,-5) e em \alpha(-1)=(2,3).
(ii) Tangente horizontal em \alpha\bigl(\pm\sqrt{\tfrac{5}{3}}\bigr).
(b) Os conjuntos de nível de f são
  • vazio, se c<0;
  • a reta \{(0,y,0)\}, se c=0;
  • o cilindro x^2+z^2=c com raio \sqrt{c} ao longo do eixo y, se c>0.

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