a) Considere a curva
dada por
Determine a reta tangente à curva no ponto correspondente a
.
Em que pontos a reta tangente de
é: (i) vertical e (ii) horizontal
b) Desenhe e descreva completamente os conjuntos de nível do seguinte campo escalar
, dado por : 1.2
Em que pontos a reta tangente de
b) Desenhe e descreva completamente os conjuntos de nível do seguinte campo escalar
Passo 1
O enunciado tem duas partes.
(a) A curva é dada por
(a) A curva
e pede (i) a reta tangente a
no ponto correspondente a
e (ii) em que pontos a reta tangente é vertical ou horizontal.
(b) O campo escalar é
(b) O campo escalar
e pede-se desenhar e descrever completamente os seus conjuntos de nível
.
Passo 2
Vamos calcular a derivada de
. Como
temos
Passo 3
Para a reta tangente em
, primeiro encontramos o ponto
A inclinação da tangente é
Logo a equação da reta em forma ponto-inclinação é
Passo 4
(i) Para reta tangente vertical queremos
e
.
Em
verifica-se
. Os pontos são
(ii) Para reta tangente horizontal queremos
e
.
Nesses valores
. Os pontos são
Passo 5
Para o campo
, o conjunto de nível de valor
é
- Se
, não há solução (conjunto vazio). - Se
, então e , sobra a reta . - Se
, temos o cilindro circular de raio em torno do eixo :
Resposta
(a) A reta tangente em
é
(i) Tangente vertical em
e em
.
(ii) Tangente horizontal em .
(ii) Tangente horizontal em
(b) Os conjuntos de nível de
são
- vazio, se
; - a reta
, se ; - o cilindro
com raio ao longo do eixo , se .