Se f(x, y)=\operatorname{Ln}\left(x^{2}+2 y^{2}+3 z^{2}\right), encontre (a) \nabla f(-1,2,4) e (b) \quad A derivada direcional D_{i j} f(-1,2,4), onde u=-\frac{3}{13} \overrightarrow{\mathrm{i}}-\frac{4}{13} \overrightarrow{\mathrm{j}}-\frac{12}{13} \overrightarrow{\mathrm{k}} é o vetor unitário.

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x,y,z) = \ln\bigl(x^{2} + 2y^{2} + 3z^{2}\bigr)
e pede (a) o gradiente \nabla f em (-1,2,4) e (b) a derivada direcional em direção ao vetor unitário
u = -\frac{3}{13}\,\mathbf{i} \;-\;\frac{4}{13}\,\mathbf{j}\;-\;\frac{12}{13}\,\mathbf{k}.
O conteúdo é cálculo de derivadas parciais para obter o gradiente e, em seguida, produto escalar com u para a derivada direcional.

Passo 2

Vamos encontrar as derivadas parciais de f. Defina
Q(x,y,z) = x^{2} + 2y^{2} + 3z^{2},
então
f(x,y,z) = \ln Q.
Pela regra da cadeia,
\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{1}{Q}\,\frac{\partial Q}{\partial x} = \frac{1}{x^{2}+2y^{2}+3z^{2}}\cdot 2x,
\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{1}{Q}\,\frac{\partial Q}{\partial y} = \frac{1}{x^{2}+2y^{2}+3z^{2}}\cdot 4y,
\frac{\partial f}{\partial z} = \frac{1}{Q}\,\frac{\partial Q}{\partial z} = \frac{1}{x^{2}+2y^{2}+3z^{2}}\cdot 6z.
Logo,
\nabla f(x,y,z) = \Bigl(\tfrac{2x}{Q},\,\tfrac{4y}{Q},\,\tfrac{6z}{Q}\Bigr).

Passo 3

Avaliaremos \nabla f em (-1,2,4). Primeiro calcule
Q(-1,2,4) = (-1)^{2} + 2\cdot 2^{2} + 3\cdot 4^{2} = 1 + 8 + 48 = 57.
Assim,
\nabla f(-1,2,4) = \Bigl(\tfrac{2\cdot(-1)}{57},\,\tfrac{4\cdot 2}{57},\,\tfrac{6\cdot 4}{57}\Bigr) = \Bigl(-\tfrac{2}{57},\,\tfrac{8}{57},\,\tfrac{24}{57}\Bigr).

Passo 4

A derivada direcional de f na direção de u é
D_{u}f(-1,2,4) = \nabla f(-1,2,4)\;\cdot\;u.
Substituindo
\nabla f(-1,2,4)=\Bigl(-\tfrac{2}{57},\tfrac{8}{57},\tfrac{24}{57}\Bigr), \quad u=\Bigl(-\tfrac{3}{13},-\tfrac{4}{13},-\tfrac{12}{13}\Bigr),
temos
D_{u}f(-1,2,4) = -\tfrac{2}{57}\cdot\Bigl(-\tfrac{3}{13}\Bigr) + \tfrac{8}{57}\cdot\Bigl(-\tfrac{4}{13}\Bigr) + \tfrac{24}{57}\cdot\Bigl(-\tfrac{12}{13}\Bigr).
Calculando cada termo sobre o mesmo denominador 741 = 57\cdot 13:
-\tfrac{2}{57}\cdot\bigl(-\tfrac{3}{13}\bigr) = \tfrac{6}{741},\quad \tfrac{8}{57}\cdot\bigl(-\tfrac{4}{13}\bigr) = -\tfrac{32}{741},\quad \tfrac{24}{57}\cdot\bigl(-\tfrac{12}{13}\bigr) = -\tfrac{288}{741}.
Somando,
D_{u}f(-1,2,4) = \frac{6 - 32 - 288}{741} = -\frac{314}{741}.

Resposta

(a) \displaystyle \nabla f(-1,2,4)=\bigl(-\tfrac{2}{57},\,\tfrac{8}{57},\,\tfrac{24}{57}\bigr).
(b) \displaystyle D_{u}f(-1,2,4)=-\tfrac{314}{741}.

Exercícios relacionados