0.2 1. Considere \beta:[1,2] \rightarrow \mathbb{R}^{2} onde \beta(t)=\left(t, t^{2}-\frac{1}{8} \ln t\right)
a) \beta é uma curva parametrizada regular C^{\infty} ?. Calcule o vetor tangente e o vetor normal à curva \beta.
b) Calcule o comprimento de arco da curva.

Passo 1

O enunciado dá a curva parametrizada
\beta\colon [1,2]\to\mathbb{R}^2,\qquad \beta(t)=\bigl(t,\;t^2-\tfrac18\ln t\bigr),
e pede em (a) verificar se é regular C^\infty, calcular o vetor tangente e um vetor normal, e em (b) o comprimento de arco.
Para isso vamos usar:
– Regularidade e classe C^\infty significam que \beta'(t) existe, é contínua e nunca nula em [1,2].
– O vetor tangente é dado por \beta'(t) ou sua versão unitária T(t)=\beta'(t)/\|\beta'(t)\|.
– Um vetor normal pode ser obtido girando \beta'(t) em 90°, por exemplo N(t)=(-y'(t),x'(t)), ou a versão unitária.
– O comprimento de arco é
L=\int_{1}^{2}\|\beta'(t)\|\,dt.

Passo 2

Calcular a derivada e verificar regularidade:
\beta'(t) =\Bigl(x'(t),y'(t)\Bigr) =\Bigl(1,\;2t-\tfrac{1}{8t}\Bigr).
Essa função é C^\infty em (1,2) e contínua em [1,2].
Para ver que é regular basta notar que
\|\beta'(t)\| =\sqrt{1+\Bigl(2t-\tfrac1{8t}\Bigr)^2} > 0 \quad\text{para todo }t\in[1,2],
pois a soma de quadrados só pode ser zero se ambos componentes forem zero, o que não ocorre.

Passo 3

Vetores tangente e normal.
O vetor tangente unitário é
T(t) =\frac{\beta'(t)}{\|\beta'(t)\|} =\frac{\bigl(1,\;2t-\frac1{8t}\bigr)} {\sqrt{1+\bigl(2t-\frac1{8t}\bigr)^2}}.
Um vetor normal (unitário) obtido girando T(t) em 90^\circ é
N(t) =\frac{\bigl(-(2t-\frac1{8t}),\;1\bigr)} {\sqrt{1+\bigl(2t-\frac1{8t}\bigr)^2}}.

Passo 4

Montar o integral do comprimento de arco:
L =\int_{1}^{2}\|\beta'(t)\|\,dt =\int_{1}^{2} \sqrt{1+\Bigl(2t-\tfrac1{8t}\Bigr)^2}\;dt.
Expandindo o quadrado,
\Bigl(2t-\tfrac1{8t}\Bigr)^2 =4t^2 - \tfrac12 + \tfrac1{64t^2},
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1+\Bigl(2t-\tfrac1{8t}\Bigr)^2 =4t^2 + \tfrac12 + \tfrac1{64t^2} =\Bigl(2t+\tfrac1{8t}\Bigr)^2.
Como 2t+\tfrac1{8t}>0 em [1,2], temos
\|\beta'(t)\| =2t+\tfrac1{8t}.

Passo 5

Integrar explicitamente:
L =\int_{1}^{2}\Bigl(2t+\tfrac1{8t}\Bigr)\,dt =\Bigl[t^2 + \tfrac18\ln t\Bigr]_{1}^{2} =\bigl(4 + \tfrac18\ln2\bigr) -\bigl(1 + \tfrac18\ln1\bigr) =3 + \tfrac18\ln2.

Resposta

a) Sim, \beta é regular e C^\infty, pois
\beta'(t)=(1,\,2t-\tfrac1{8t})
é contínua e nunca nula em [1,2].
O vetor tangente unitário é
T(t) =\frac{\bigl(1,\,2t-\tfrac1{8t}\bigr)} {\sqrt{1+(2t-\tfrac1{8t})^2}},
e um vetor normal unitário pode ser
N(t) =\frac{\bigl(-(2t-\tfrac1{8t}),\,1\bigr)} {\sqrt{1+(2t-\tfrac1{8t})^2}}.
b) O comprimento de arco é
L =3 + \tfrac18\ln2.

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