0.2 1. Considere
onde
a)
é uma curva parametrizada regular
?. Calcule o vetor tangente e o vetor normal à curva
.
b) Calcule o comprimento de arco da curva.
a)
b) Calcule o comprimento de arco da curva.
Passo 1
O enunciado dá a curva parametrizada
e pede em (a) verificar se é regular
, calcular o vetor tangente e um vetor normal, e em (b) o comprimento de arco.
Para isso vamos usar:
– Regularidade e classe significam que
existe, é contínua e nunca nula em
.
– O vetor tangente é dado por ou sua versão unitária
.
– Um vetor normal pode ser obtido girando em 90°, por exemplo
, ou a versão unitária.
– O comprimento de arco é
Para isso vamos usar:
– Regularidade e classe
– O vetor tangente é dado por
– Um vetor normal pode ser obtido girando
– O comprimento de arco é
Passo 2
Calcular a derivada e verificar regularidade:
Essa função é
em
e contínua em
.
Para ver que é regular basta notar que
Para ver que é regular basta notar que
pois a soma de quadrados só pode ser zero se ambos componentes forem zero, o que não ocorre.
Passo 3
Vetores tangente e normal.
O vetor tangente unitário é
O vetor tangente unitário é
Um vetor normal (unitário) obtido girando
em
é
Passo 4
Montar o integral do comprimento de arco:
Expandindo o quadrado,
logo
Como
em
, temos
Passo 5
Integrar explicitamente:
Resposta
a) Sim,
é regular e
, pois
é contínua e nunca nula em
.
O vetor tangente unitário é
O vetor tangente unitário é
e um vetor normal unitário pode ser
b) O comprimento de arco é