Questão 3 (+2 pontos) Mostre que a união de dois semiplanos é convexa se, e somente se, as retas que os determinam são paralelas e os semiplanos dados se interceptam.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, dadas duas retas L_{1} e L_{2} em \mathbb R^{2} e os semiplanos fechados associados H_{1} e H_{2}, a união H_{1}\cup H_{2} é um conjunto convexo se, e somente se, as retas L_{1} e L_{2} forem paralelas e os semiplanos H_{1} e H_{2} tiverem interseção não vazia. O conteúdo usado será a definição de convexidade (segmento entre dois pontos do conjunto fica todo dentro do conjunto) e a representação afim de semiplanos em termos de desigualdades lineares.

Passo 2

(Prova da condição “somente se”) Suponha H_{1}\cup H_{2} convexo. Primeiro, mostremos que as retas não podem ser concorrentes. Se L_{1} e L_{2} NÃO fossem paralelas, elas se cruzariam em um ponto P. Essas duas retas formam quatro setores ao redor de P. Seja
H_{1}=\{x\mid f(x)\le 0\},\qquad H_{2}=\{x\mid g(x)\le 0\},
onde f e g são funções afins cujas retas-nível f=0 e g=0 são L_{1} e L_{2}. Então escolhemos
A\in H_{1}\setminus H_{2}\quad(\text{isto é, }f(A)\le0,\;g(A)>0), \qquad B\in H_{2}\setminus H_{1}\quad(\text{isto é, }g(B)\le0,\;f(B)>0).éé
O segmento \overline{AB} atravessa forçosamente um dos setores que fica fora de ambos os semiplanos (onde f>0 e g>0), logo parte desse segmento não pertence a H_{1}\cup H_{2}. Isso contradiz a convexidade. Concluímos que L_{1}\parallel L_{2}.

Passo 3

Ainda sob a hipótese H_{1}\cup H_{2} convexo, mostremos que H_{1}\cap H_{2}\neq\emptyset. Se as retas são paralelas mas os semiplanos NÃO se interceptam, eles ficam situados em lados opostos, criando uma “faixa vazia” entre eles. Tomando A\in H_{1} e B\in H_{2}, o segmento \overline{AB} atravessa essa faixa vazia, de novo saindo de H_{1}\cup H_{2}, o que impede convexidade. Logo deve ocorrer H_{1}\cap H_{2}\neq\emptyset.

Passo 4

(Prova da condição “se”) Agora suponha L_{1}\parallel L_{2} e H_{1}\cap H_{2}\neq\emptyset. Existem duas situações de orientação:
(i) Mesma orientação. a\neq0 e escalares b_{1},b_{2} tais que
H_{1}=\{x\mid a^T x\le b_{1}\}, \quad H_{2}=\{x\mid a^T x\le b_{2}\}.
Sem perda de geralidade, b=\max(b_{1},b_{2}). Então
H_{1}\cup H_{2} =\{\,x\mid a^T x\le b_{1}\}\;\cup\;\{\,x\mid a^T x\le b_{2}\} =\{\,x\mid a^T x\le b\},
que é um semiplano, portanto convexo.
(ii) Orientações opostas. a\neq0 e b_{1},b_{2} tais que
H_{1}=\{x\mid a^T x\le b_{1}\}, \quad H_{2}=\{x\mid a^T x\ge b_{2}\}.
A interseção não vazia exige b_{2}\le b_{1}. Mas então para todo x\in\mathbb R^{2} vale
\text{ou }a^T x\le b_{1},\quad\text{ou }a^T x\ge b_{2},
de modo que
H_{1}\cup H_{2}=\mathbb R^{2},
que é convexo.
Nos dois casos, H_{1}\cup H_{2} é convexo. Isso conclui a prova da “se”.

Resposta

A união de dois semiplanos é convexa se, e somente se, as retas que os determinam são paralelas e os semiplanos dados se interceptam.

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