Questão 5 (+2 pontos) Em um trapézio A B C D de bases A B=a e C D=b, os lados não paralelos são A D e B C. Pelo ponto P de concurso das diagonais de A B C D, traçamos o segmento M N, paralelo às bases, com M em A D e N em B C. Prove que P é o ponto médio de M N e que \overline{M N} é a média harmônica de a e b, isto é, \overline{M N}=2 a b /(a+b).

Passo 1

Temos o trapézio ABCD com bases AB=a e CD=b. As diagonais AC e BD se cruzam em P. Pelo ponto P traçamos MN\parallel AB\parallel CD, com M\in AD e N\in BC. Queremos provar que P é o ponto médio de MN (isto é, MP=PN) e que
MN=\frac{2ab}{a+b}.
Usaremos semelhança de triângulos (Teorema de Tales) e o fato de que em trapézio a interseção das diagonais divide cada uma em proporção às bases.

Passo 2

Em ABCD, como AB\parallel CD, os triângulos \triangle APB e \triangle CPD são semelhantes. Da semelhança vem
\frac{AP}{PC}=\frac{AB}{CD}=\frac{a}{b}.
Logo,
\frac{AP}{AC}=\frac{AP}{AP+PC}=\frac{\tfrac a b}{\tfrac a b+1}=\frac{a}{a+b}, \qquad \frac{PC}{AC}=\frac{b}{a+b}.

Passo 3

Considere \triangle ADC. A reta MP é paralela a CD, logo \triangle AMP\sim\triangle ADC. Da semelhança obtemos
\frac{MP}{CD}=\frac{AP}{AC} \quad\Longrightarrow\quad MP = CD\cdot\frac{AP}{AC} = b\cdot\frac{a}{a+b} = \frac{ab}{a+b}.

Passo 4

Considere \triangle ABC. A reta PN é paralela a AB, logo \triangle PNC\sim\triangle ABC. Da semelhança segue
\frac{PN}{AB}=\frac{PC}{AC} \quad\Longrightarrow\quad PN = AB\cdot\frac{PC}{AC} = a\cdot\frac{b}{a+b} = \frac{ab}{a+b}.
Daí MP=PN, logo P é o ponto médio de MN, e
MN = MP + PN = \frac{ab}{a+b} + \frac{ab}{a+b} = \frac{2ab}{a+b}.

Resposta

Prova concluída: P é ponto médio de MN e MN=2ab/(a+b).

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