Questão 1 (+2 pontos) Dados um círculo e um ponto A em seu exterior, mostre que o segmento ligando A ao centro do círculo intercepta o círculo no ponto onde a menor distância entre A e um ponto do círculo é atingida.

Passo 1

O enunciado dá um círculo de centro O e raio r, e um ponto A no exterior desse círculo. Precisamos encontrar o ponto P sobre a circunferência que minimize a distância AP. Para isso, usaremos a desigualdade triangular em qualquer triângulo formado pelos pontos A, P e O.

Passo 2

Para qualquer ponto P na circunferência vale a desigualdade triangular no triângulo APO:
AP + PO \;\ge\; AO.
Como PO = r, segue
AP \;\ge\; AO - r.

Passo 3

A igualdade em AP + PO = AO ocorre exatamente quando A, P e O são colineares e P está entre A e O. Nesse caso, P é o ponto de intersecção do segmento AO com a circunferência mais próximo de A.

Resposta

O ponto que minimiza a distância de A ao círculo é justamente o de intersecção do segmento AO com a circunferência, no lado de A.

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