Questão 1 (+2 pontos) Dados um círculo e um ponto
em seu exterior, mostre que o segmento ligando
ao centro do círculo intercepta o círculo no ponto onde a menor distância entre
e um ponto do círculo é atingida.
Passo 1
O enunciado dá um círculo de centro
e raio
, e um ponto
no exterior desse círculo. Precisamos encontrar o ponto
sobre a circunferência que minimize a distância
. Para isso, usaremos a desigualdade triangular em qualquer triângulo formado pelos pontos
,
e
.
Passo 2
Para qualquer ponto
na circunferência vale a desigualdade triangular no triângulo
:
Como
, segue
Passo 3
A igualdade em
ocorre exatamente quando
,
e
são colineares e
está entre
e
. Nesse caso,
é o ponto de intersecção do segmento
com a circunferência mais próximo de
.
Resposta
O ponto que minimiza a distância de
ao círculo é justamente o de intersecção do segmento
com a circunferência, no lado de
.