Questão 6 (+2 pontos) Sejam A B C um triângulo equilátero de lado a e M o ponto médio de A B. Considere o ponto D no segmento B C de modo que \overline{C D}=a / 3 e o ponto E de concorrência das retas \overleftrightarrow{A C} e \overleftrightarrow{D M}. Calcule \overline{A E} em termos de a.

Passo 1

Temos um triângulo equilátero ABC de lado a. Seja M o ponto médio de AB e D um ponto em BC tal que \overline{CD} = a/3. Chamamos de E o ponto de interseção das retas AC e DM. Para achar \overline{AE} em função de a, vamos usar geometria analítica: atribuir coordenadas a A,B,C, achar M,D, escrever equações paramétricas de AC e DM e resolver a interseção.

Passo 2

Escolhemos:
A = (0,0),\quad B = (a,0),\quad C = \bigl(\tfrac{a}{2},\,\tfrac{a\sqrt3}{2}\bigr).
Então o ponto médio de AB é
M = \Bigl(\tfrac{0+a}{2},\,\tfrac{0+0}{2}\Bigr) = \bigl(\tfrac{a}{2},0\bigr).
E D está em BC com \overline{CD}=a/3, ou seja, é o ponto que fica a um terço de B a partir de C:
D = C + \tfrac{1}{3}(B - C) = \Bigl(\tfrac{a}{2},\tfrac{a\sqrt3}{2}\Bigr) + \tfrac{1}{3}\Bigl(a-\tfrac{a}{2},\,0-\tfrac{a\sqrt3}{2}\Bigr) = \Bigl(\tfrac{2a}{3},\,\tfrac{a\sqrt3}{3}\Bigr).

Passo 3

Escrevemos as retas em forma paramétrica. Para AC\), usamos parâmetro \(t\in\mathbb{R}\): \[AC:\quad \begin{cases} x = t\,\tfrac{a}{2},\\\ y = t\,\tfrac{a\sqrt3}{2}. \end{cases}
Para DM\], usamos parâmetro \(s\in\mathbb{R}:
DM:\quad \begin{cases} x = \tfrac{2a}{3} + s\Bigl(\tfrac{a}{2}-\tfrac{2a}{3}\Bigr) = \Bigl(\tfrac{2}{3}-\tfrac{s}{6}\Bigr)a,\\\ y = \tfrac{a\sqrt3}{3} + s\Bigl(0-\tfrac{a\sqrt3}{3}\Bigr) = \Bigl(\tfrac{1}{3}-\tfrac{s}{3}\Bigr)a\sqrt3. \end{cases}

Passo 4

No ponto de interseção E, os dois sistemas coincidem. Igualando x e y de AC e DM, obtemos dois preenchimentos em t e s. Da igualdade em x:
t\,\tfrac{a}{2} = \Bigl(\tfrac{2}{3}-\tfrac{s}{6}\Bigr)a \\ \Longrightarrow\\ t = \tfrac{4}{3}-\tfrac{s}{3}.
Da igualdade em y:
t\,\tfrac{a\sqrt3}{2} = \Bigl(\tfrac{1}{3}-\tfrac{s}{3}\Bigr)a\sqrt3 \\ \Longrightarrow\\ t = \tfrac{2}{3}-\tfrac{2s}{3}.
Igualando as duas expressões de t:
\tfrac{4}{3}-\tfrac{s}{3} \;=\;\tfrac{2}{3}-\tfrac{2s}{3} \\ \Longrightarrow\\ s = -2,
e voltando em qualquer fórmula, dá
t = \tfrac{4}{3}-\tfrac{(-2)}{3} = 2.

Passo 5

Na reta AC, o parâmetro t mede a fração de AC. Para t=2, o ponto E está a 2 vezes o comprimento de AC a partir de A. Como \overline{AC}=a,
\overline{AE} = t\cdot\overline{AC} = 2\,a.

Resposta

\overline{AE} = 2a

Exercícios relacionados