Considere beta:[1,2 pi] R^2 onde beta(t)=(cos t+t sen t, sen t-t cos t)
a) beta é uma curva parametrizada regular C^1 ? 0 9
b) Calcule o comprimento de arco da curva. 1.3

Passo 1

Na questão temos a curva definida por e cálculo de comprimento de arco. Vamos precisar calcular a derivada de , verificar se ela é nunca nula para regularidade e depois integrar seu módulo para obter o comprimento.)

Passo 2

Como as componentes de beta são combinações de funções cos t, sen t e polinômios em t, todas são de classe C^infty. Logo beta é de classe C^1 em [1,2pi].

Passo 3

Agora calculamos a derivada beta'(t). Temos
beta'(t)=(-sent + sent + tcos t,;cos t - cos t + tsent)
e isso simplifica para
beta'(t)=(tcos t,;tsent)
O módulo de beta'(t) é
|beta'(t)| = raiz(tcos t)^2 + (tsent)^2 = traizcos^2t + sen^2t = t
Como tin[1,2pi] implica t>0, segue que |beta'(t)|>0 em todo o intervalo, mostrando que a curva é regular.

Passo 4

Para o comprimento de arco L, usamos
L=integral1^2pi|beta'(t)|;dt =integral1^2pit;dt =[t^22]1^2pi =(2pi)^2-12 =4pi^2-12

Resposta

a) Sim, beta é de classe C^1 e regular. b) O comprimento de arco é 4pi^2-12.

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