(2,0 pts) 03- Sendo dados os polinômios f=x, g=x+x^3 e h=2 x^3+5 x, obtenha os números reais a eb tais que h=a f+b g.

Passo 1

O enunciado nos dá três polinômios em R[x]:
f(x)=x, g(x)=x + x^3, h(x)=2x^3+5x
e pede para escrever h como combinação linear de f e g, isto é, encontrar escalares reais a e b tais que
h(x)=a,f(x)+b,g(x)

Passo 2

Escrevemos a combinação linear proposta e coletamos termos semelhantes:
a,f(x)+b,g(x) =a,(x)+b,(x+x^3) =a,x + b,x + b,x^3 =(a+b),x + b,x^3

Passo 3

Como queremos que
(a+b),x + b,x^3 equiv 2x^3+5x,
igualamos os coeficientes de x^3 e de x:
– Coeficiente de x^3:
b = 2
– Coeficiente de x:
a + b = 5

Passo 4

Substituindo b=2 na segunda equação, obtemos
a + 2 = 5 Longrightarrow a = 3

Resposta

a=3, b=2.

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