(3,0 pts) 04- Determine a condição para que a x^2+b x+c seja um polinômio quadrado perfeito.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente descobrir qual condição precisa ser satisfeita para que o polinômio quadrático a x^2 + b x + c seja um “quadrado perfeito”. Isso está relacionado ao conteúdo de álgebra, especificamente sobre polinômios. Para resolver isso, vamos precisar entender como um polinômio quadrado perfeito se forma e como comparar os coeficientes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um quadrado perfeito. Um polinômio quadrado perfeito é aquele que pode ser escrito como o quadrado de um binômio. Ou seja, queremos que a x^2 + b x + c seja igual a (d x + e)^2 , onde d e e são números que a gente precisa encontrar.

Passo 3

Agora, vamos expandir o binômio (d x + e)^2 para ver como fica:
(d x + e)^2 = d^2 x^2 + 2 d e x + e^2
Então, temos:
a x^2 + b x + c = d^2 x^2 + 2 d e x + e^2

Passo 4

Para que essas duas expressões sejam iguais para todo valor de x , os coeficientes correspondentes devem ser iguais. Ou seja:
a = d^2
b = 2 d e
c = e^2
Isso nos dá três equações relacionando a , b e c com d e e .

Passo 5

Nos interessa encontrar uma condição apenas em termos de a , b e c , sem d e e . Vamos usar as duas equações que envolvem b e c :
De b = 2 d e e c = e^2 , podemos expressar e em termos de c :
e = raizc
Substituindo na equação de b :
b = 2 d raizc
Mas sabemos que a = d^2 , então d = raiza . Substituindo isso:
b = 2 raiza raizc
Elevando ao quadrado ambos os lados para eliminar as raízes:
b^2 = 4 a c

Resposta

A condição para que a x^2 + b x + c seja um polinômio quadrado perfeito é que b^2 = 4 a c .

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