(3,0 pts) 04- Determine a condição para que
seja um polinômio quadrado perfeito.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente descobrir qual condição precisa ser satisfeita para que o polinômio quadrático
seja um “quadrado perfeito”. Isso está relacionado ao conteúdo de álgebra, especificamente sobre polinômios. Para resolver isso, vamos precisar entender como um polinômio quadrado perfeito se forma e como comparar os coeficientes.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um quadrado perfeito. Um polinômio quadrado perfeito é aquele que pode ser escrito como o quadrado de um binômio. Ou seja, queremos que
seja igual a
, onde
e
são números que a gente precisa encontrar.
Passo 3
Agora, vamos expandir o binômio
para ver como fica:
Então, temos:
Passo 4
Para que essas duas expressões sejam iguais para todo valor de
, os coeficientes correspondentes devem ser iguais. Ou seja:
Isso nos dá três equações relacionando
,
e
com
e
.
Passo 5
Nos interessa encontrar uma condição apenas em termos de
,
e
, sem
e
. Vamos usar as duas equações que envolvem
e
:
De
e
, podemos expressar
em termos de
:
Substituindo na equação de
:
Mas sabemos que
, então
. Substituindo isso:
Elevando ao quadrado ambos os lados para eliminar as raízes:
Resposta
A condição para que
seja um polinômio quadrado perfeito é que
.