Considere o campo vetorial
dado por:
Determine se
é um campo conservativo em, caso afirmativo encontre todas as funções potenciais associadas a
Passo 1
O enunciado apresenta o campo vetorial
em
. O conteúdo é campos conservativos e funções potenciais. Para resolver, vamos usar o teste das derivadas cruzadas e, em caso positivo, integrar para achar a potencial.
Passo 2
Calculamos as derivadas parciais cruzadas:
e
. Como
, temos
. E como
, temos
.
Passo 3
Como
em todo
, que é simplesmente conexo, concluímos que
é um campo conservativo.
Passo 4
Para achar a função potencial
, integramos
em relação a
:
onde
é função de
.
Passo 5
Diferenciamos essa expressão em relação a
:
Igualando a
vem:
Cancelando
dá
.
Passo 6
Agora integramos
em relação a
:
Portanto,
Resposta
O campo é conservativo em
e a família de funções potenciais é
onde
é constante arbitrária.