Considere o campo vetorial F: R^2 R^2 dado por:
F(x, y)=(8+y^2-3 x^2, e^y+2 x y+y e^-2 y)
Determine se F é um campo conservativo em, caso afirmativo encontre todas as funções potenciais associadas a F 1.0

Passo 1

O enunciado apresenta o campo vetorial F(x,y) = (8 + y^2 - 3x^2,; e^y + 2xy + y e^-2y) em R^2. O conteúdo é campos conservativos e funções potenciais. Para resolver, vamos usar o teste das derivadas cruzadas e, em caso positivo, integrar para achar a potencial.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais cruzadas: partial P/partial y e partial Q/partial x. Como P(x,y) = 8 + y^2 -3x^2, temos partial P/partial y = 2y. E como Q(x,y) = e^y +2xy + y e^-2y, temos partial Q/partial x = 2y.

Passo 3

Como partial P/partial y = 2y = partial Q/partial x em todo R^2, que é simplesmente conexo, concluímos que vec F é um campo conservativo.

Passo 4

Para achar a função potencial f, integramos fx = P =8 + y^2 -3x^2 em relação a x:
f(x,y) = integral(8 + y^2 -3x^2),dx = 8x + x y^2 - x^3 + h(y),
onde h(y) é função de y.

Passo 5

Diferenciamos essa expressão em relação a y:
fy = partialpartial y(8x + x y^2 - x^3 + h(y)) = 2xy + h'(y)
Igualando a Q(x,y) = e^y +2xy + y e^-2y vem:
2xy + h'(y) = e^y +2xy + y e^-2y
Cancelando 2xy h'(y) = e^y + y e^-2y.

Passo 6

Agora integramos h'(y) em relação a y:
integral h'(y),dy = integral e^y,dy + integral y e^-2y,dy = e^y - tfrac12 y e^-2y - tfrac14 e^-2y + C
Portanto,
h(y) = e^y - 2y+14e^-2y + C

Resposta

O campo é conservativo em R^2 e a família de funções potenciais é
f(x,y) = 8x + x y^2 - x^3 + e^y - 2y+14 e^-2y + C,
onde C é constante arbitrária.

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