Considere o binômio (x-3)^8 e determine o termo independente de seu desenvolvimento:

Passo 1

Beleza! A gente vai resolver um exercício sobre a expansão do binômio (x - 3)^8 e descobrir qual é o termo que não tem a variável x, ou seja, o termo independente. Para isso, vamos usar o Teorema do Binômio, que nos ajuda a expandir expressões desse tipo e identificar os termos da expansão.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como funciona o Teorema do Binômio. Ele diz que ao expandir (a + b)^n, cada termo da expansão pode ser encontrado usando a fórmula:
Tk+1 = binomnk cdot a^n-k cdot b^k
Aqui, binomnk é o coeficiente binomial, que calcula as combinações possíveis de n elementos tomados k a k, e Tk+1 representa o termo da expansão.

Passo 3

No nosso caso, a expressão é (x - 3)^8. Vamos identificar a, b e n:
  • a = x
  • b = -3
  • n = 8
Queremos encontrar o termo independente, ou seja, aquele que não tem a variável x. Isso acontece quando a potência de x é zero. Na fórmula do teorema, a potência de a é n - k. Então, para encontrar o termo independente, resolvemos:
n - k = 0
Substituindo n = 8:
8 - k = 0 k = 8

Passo 4

Agora que sabemos que k = 8, vamos substituir na fórmula do termo geral:
Tk+1 = binom88 cdot x^8-8 cdot (-3)^8
Vamos calcular cada parte:
  • binom88 = 1 (porque qualquer número combinado com ele mesmo é 1)
  • x^8-8 = x^0 = 1 (qualquer número elevado a zero é 1)
  • (-3)^8 = 6561 (porque um número negativo elevado a uma potência par resulta em um número positivo)

Passo 5

Multiplicando tudo:
T9 = 1 cdot 1 cdot 6561 = 6561

Resposta

O termo independente é 6561.

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