Considere o binômio
e determine o termo independente de seu desenvolvimento:
Passo 1
Beleza! A gente vai resolver um exercício sobre a expansão do binômio
e descobrir qual é o termo que não tem a variável
, ou seja, o termo independente. Para isso, vamos usar o Teorema do Binômio, que nos ajuda a expandir expressões desse tipo e identificar os termos da expansão.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como funciona o Teorema do Binômio. Ele diz que ao expandir
, cada termo da expansão pode ser encontrado usando a fórmula:
Aqui,
é o coeficiente binomial, que calcula as combinações possíveis de
elementos tomados
a
, e
representa o termo da expansão.
Passo 3
No nosso caso, a expressão é
. Vamos identificar
,
e
:
Queremos encontrar o termo independente, ou seja, aquele que não tem a variável
. Isso acontece quando a potência de
é zero. Na fórmula do teorema, a potência de
é
. Então, para encontrar o termo independente, resolvemos:
Substituindo
:
Passo 4
Agora que sabemos que
, vamos substituir na fórmula do termo geral:
Vamos calcular cada parte:
-
(porque qualquer número combinado com ele mesmo é 1) -
(qualquer número elevado a zero é 1) -
(porque um número negativo elevado a uma potência par resulta em um número positivo)
Passo 5
Multiplicando tudo:
Resposta
O termo independente é 6561.