Dê o domínio e esboce o gráfico.
y=raiz[3]x^2

Passo 1

Estamos com a função
y = raiz[3]x^2
O que a questão pede é:
1. Determinar o domínio de definição dessa função.
2. Esboçar o gráfico de y em função de x.

Passo 2

Para achar o domínio, note que a raiz cúbica raiz[3];cdot; admite argumento real qualquer (não há problema de radicando negativo como na raiz quadrada). Como o radicando é x^2, que está definido para todo xinR, concluímos:
Domínio = (-infty,infty) í

Passo 3

Para esboçar o gráfico, é útil reescrever
y = raiz[3]x^2 = (x^2)^1/3 = |x|^2/3
Essa forma mostra que y>=0 sempre e que a função é par (simétrica em relação ao eixo y).

Passo 4

Vamos levantar alguns pontos e comportamento:
  • Para x=0, temos y=0.
  • Para x=1, temos y=1^2/3=1.
  • Para x=-1, y=|-1|^2/3=1.
  • Para x=8, y=|8|^2/3=(8^1/3)^2=2^2=4.
    A derivada para x>0 é
y' = tfrac23,x^-1/3,
que tende a +infty quando xto0^+ (curva com “cusp” no origem) e a ,0 quando xto+infty. O mesmo vale para o ramo x<0 por simetria.

Passo 5

Esboço qualitativo:
  • A curva parte de (0,0) com inclinação vertical (cusp).
  • Cresce para a direita, cada vez mais lentamente, passando por (1,1), (8,4), etc.
  • Espelha-se para a esquerda, pois é função par.
Um esboço ASCII simplificado:
c y uparrow 4 | * * | / backslash 1 | *!!/ backslash!!* | / backslash 0 square * * to x -8 -10 18

Resposta

Domínio: (-infty,infty).
Gráfico: curva em “V arredondado” com cusp em (0,0), simétrica em relação ao eixo y, subindo em direção a +infty quando |x|toinfty.

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