Considere uma bola maciça isolante de raio a, que possui uma densidade de carga volumétrica não-uniforme dada por:
\rho(r)=-\frac{X}{r} \quad\left(C / m^{3}\right)
em que X>0 é uma constante e r (variável) é a distância ao centro da bola. No centro dessa bola existe ainda uma carga pontual positiva de valor q.
a) Calcule o valor de X para que o campo elétrico no exterior dessa bola ( r>a ) seja nulo.
b) Calcule o vetor campo elétrico \vec{E}(r) na distância r=a / 2.
Suas respostas devem ser dadas em termos de, no máximo, X, a, \varepsilon_{0}, \pi e r .

Passo 1

O enunciado descreve uma esfera isolante de raio a com densidade volumétrica
\rho(r)=-\frac{X}{r}
e uma carga pontual q no centro.
a) Queremos X tal que \vec E=0 para r>a.
b) Queremos \vec E em r=\tfrac{a}{2}.
Usaremos a Lei de Gauss para calcular as cargas envolvidas e o campo.

Passo 2

Calcule a carga total da distribuição volumétrica até r=a:
Q_{\text{vol}}=\int_{0}^{a}\rho(r)\,4\pi r^{2}dr =-4\pi X\int_{0}^{a}r\,dr =-2\pi X a^{2}.
Para r>a, a carga total envolvida é
Q_{\text{tot}}=q+Q_{\text{vol}}=q-2\pi X a^{2}.
Para que E=0 fora da esfera, precisamos de Q_{\text{tot}}=0.

Passo 3

Impondo q-2\pi X a^{2}=0 obtemos
X=\frac{q}{2\pi a^{2}}.

Passo 4

Para r<a, a Lei de Gauss dá
4\pi r^{2}\varepsilon_{0}E(r)=Q_{\text{enc}}(r),
onde
Q_{\text{enc}}(r) =q+\int_{0}^{r}\rho(r')\,4\pi r'^{2}dr' =q-2\pi X r^{2}.
Logo
E(r) =\frac{q-2\pi X r^{2}}{4\pi\varepsilon_{0}r^{2}}\;\hat r.

Passo 5

Substituindo X=\frac{q}{2\pi a^{2}} para eliminar q, reescrevemos
E(r) =\frac{X\bigl(a^{2}-r^{2}\bigr)}{2\varepsilon_{0}r^{2}}\;\hat r.

Passo 6

Em r=\tfrac{a}{2} temos
\vec E\Bigl(\tfrac{a}{2}\Bigr) =\frac{X\bigl(a^{2}-(\tfrac{a}{2})^{2}\bigr)}{2\varepsilon_{0}(\tfrac{a}{2})^{2}}\;\hat r =\frac{3X}{2\varepsilon_{0}}\;\hat r.

Resposta

a) \displaystyle X=\frac{q}{2\pi a^{2}}
b) \displaystyle \vec E\bigl(\tfrac{a}{2}\bigr)=\frac{3X}{2\varepsilon_{0}}\;\hat r

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