Considere uma bomba d’água com vazão, em regime permanente, de 0,019 \mathrm{~m}^{3} / \mathrm{s}. As pressões na seção de alimentação e de descarga são, respectivamente, 1,24 bar e 4,14 bar. O diâmetro do tubo na seção de alimentação é 89 mm . Na seção de descarga o diâmetro é de 25 mm . A diferença de nível entre as seções de entrada e saída é desprezível e a bomba opera em regime adiabático. O aumento da energia interna da água em decorrência do aumento de temperatura do fluido (u2 - u1) é 279 \mathrm{~J} / \mathrm{kg}. Determine a potência necessária para operar a bomba. Obs: 101.325 Pa = 1,01325 bar.

Passo 1

O enunciado descreve uma bomba em regime permanente que movimenta água com vazão \dot V=0,019\;\mathrm{m^3/s}. As pressões na entrada e na saída são p_1=1,24\;\mathrm{bar} e p_2=4,14\;\mathrm{bar}. Os diâmetros são D_1=89\;\mathrm{mm} e D_2=25\;\mathrm{mm}. A diferença de elevação é desprezível e o processo é adiabático, havendo aumento de energia interna por \Delta u=u_2-u_1=279\;\mathrm{J/kg}. Para achar a potência precisamos aplicar a equação de energia no escoamento estacionário, incluindo as variações de entalpia e de energia cinética.

Passo 2

Calcular as velocidades média na entrada e na saída. A área da seção é
A_i = \frac{\pi D_i^2}{4}.
Para D_1=0,089\;\mathrm m:
A_1 = \frac{\pi (0,089)^2}{4}\approx0,00622\;\mathrm{m^2},
v_1 = \frac{\dot V}{A_1} \approx \frac{0,019}{0,00622}\approx3,05\;\mathrm{m/s}.
Para D_2=0,025\;\mathrm m:
A_2 = \frac{\pi (0,025)^2}{4}\approx0,000491\;\mathrm{m^2},
v_2 = \frac{\dot V}{A_2} \approx \frac{0,019}{0,000491}\approx38,7\;\mathrm{m/s}.

Passo 3

Determinar a variação de energia cinética por unidade de massa:
\Delta e_k = \frac{v_2^2 - v_1^2}{2} = \frac{(38{,}7)^2 - (3{,}05)^2}{2} \approx744{,}4\;\mathrm{J/kg}.

Passo 4

Calcular a variação de entalpia específica \Delta h = h_2 - h_1. Como
h = u + p\,v \quad\Longrightarrow\quad \Delta h = \Delta u + \frac{p_2 - p_1}{\rho},
adota-se \rho=1000\;\mathrm{kg/m^3} e converte-se as pressões para Pa:
p_1 = 1{,}24\times10^5\;\mathrm{Pa},\quad p_2 = 4{,}14\times10^5\;\mathrm{Pa},
\Delta h = 279 + \frac{4{,}14\times10^5 - 1{,}24\times10^5}{1000} =279 + 290 =569\;\mathrm{J/kg}.

Passo 5

A potência fornecida pela bomba é a vazão mássica multiplicada pela soma das variações de entalpia e de energia cinética:
\dot m = \rho\,\dot V = 1000\cdot0,019 =19\;\mathrm{kg/s},
P = \dot m\bigl(\Delta h + \Delta e_k\bigr) =19\bigl(569 + 744{,}4\bigr) \approx19\cdot1313{,}4\approx24955\;\mathrm W.

Resposta

A potência necessária é aproximadamente 25\;\mathrm{kW}.

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