Qual deve ser o diâmetro D de uma galeria de águas pluviais, para que com uma declividade de fundo de \mathrm{I}_{0}=4,5 \mathrm{~m} / \mathrm{km} e uma altura d’água \mathrm{y}=0,4 . \mathrm{D}, o escoamento uniforme seja crítico. Coeficiente de rugosidade \mathrm{n}=0,015 .[1,50 \mathrm{~m}]

Passo 1

O enunciado pede o diâmetro D de uma galeria circular de seção parcialmente cheia (nível de água y=0,4D), de modo que o escoamento uniforme na declividade de fundo I_0=4{,}5\\ \mathrm{m/km}=0{,}0045 seja crítico. Vamos usar:
– a fórmula de Manning para escoamento uniforme,
– a condição de escoamento crítico ( Q=Q_c),
– as relações geométricas (área A, perímetro molhado P e largura de superfície livre T) para um canal circular parcialmente cheio.

Passo 2

Determine o ângulo central \theta correspondente à altura y=0{,}4D. Numa circunferência de diâmetro D, a profundidade y e o ângulo \theta satisfazem
y = \frac{D}{2}\bigl(1 - \cos\tfrac{\theta}{2}\bigr) \quad\Longrightarrow\quad 1 - \cos\tfrac{\theta}{2} = 0{,}8 \;\;\Rightarrow\;\; \cos\tfrac{\theta}{2} = 0{,}2
\tfrac{\theta}{2} = \operatorname{arccos}(0{,}2)\approx1{,}369\\ \mathrm{rad} \quad\Longrightarrow\quad \theta \approx2{,}738\\ \mathrm{rad}.
Com isso a área molhada A, o perímetro molhado P e a largura de superfície T são
A = \frac{D^2}{8}\,\bigl(\theta - \sin\theta\bigr), \quad P = \frac{D\,\theta}{2}, \quad T = D\sin\!\bigl(\tfrac{\theta}{2}\bigr).

Passo 3

Escrevemos:
– Fórmula de Manning
Q = \frac{1}{n}\;A\,R^{2/3}\,S^{1/2}, \quad R = \frac{A}{P},
com n=0{,}015 e S=I_0=0{,}0045.
– Débito crítico
Q_c = A\,V_c \quad\text{com}\quad V_c = \sqrt{\frac{g\,A}{T}}.

Passo 4

Impondo Q=Q_c, temos
\frac{1}{n}\,A\bigl(\tfrac{A}{P}\bigr)^{2/3}S^{1/2} \;=\; A\sqrt{\frac{gA}{T}} \;\Longrightarrow\; \frac{1}{n^2}\,\bigl(\tfrac{A}{P}\bigr)^{4/3}S \;=\; \frac{gA}{T}.
Isolando D nota-se que A\propto D^2, P\propto D, T\propto D, o que leva a uma equação da forma D^{1/3}=\text{constante}.

Passo 5

Calcule as constantes numéricas:
\alpha=\frac{\theta-\sin\theta}{8}\approx0{,}2931, \quad \beta=\frac{\theta}{2}\approx1{,}369, \quad \gamma=\sin\!\bigl(\tfrac{\theta}{2}\bigr)\approx0{,}979.
Dessa forma
D^{1/3} = \frac{g\,\alpha} {(1/n)^2\,S\,(\alpha/\beta)^{4/3}\,\gamma} \approx1{,}1468 \quad\Longrightarrow\quad D\approx1{,}1468^3\approx1{,}51\\ \mathrm{m}.

Resposta

O diâmetro deve ser aproximadamente 1{,}50\\ \mathrm{m}.

Exercícios relacionados