Considere
. Mostre que
.
Passo 1
O enunciado define o conjunto
e pede para mostrar que
.
O conteúdo envolvido é ordem em , definição de cota superior e mínimos limites superiores, e manipulação de sequências simples.
O conteúdo envolvido é ordem em
Passo 2
Mostramos que
é uma cota superior de
. Para isso basta ver que, para todo
,
De fato,
o que é verdadeiro. Portanto, nenhum elemento de
ultrapassa
, e
é uma cota superior.
Passo 3
Para concluir que
é a menor cota superior (isto é, o supremo), precisamos mostrar que, dado qualquer
, existe
com
Note que
Queremos
Como
é infinito, podemos escolher
suficientemente grande para satisfazer essa desigualdade. Assim, para todo
há um elemento de
que fica dentro de
de
por baixo.
Passo 4
Juntando os passos anteriores,
é cota superior de
e não há cota superior menor que
. Logo