Considere C=\left\{\frac{4 n}{2 n+1} ; n \in \mathrm{~N}\right\}. Mostre que \sup \mathrm{C}=2.

Passo 1

O enunciado define o conjunto
C = \left\{\frac{4n}{2n+1}\;|\;n\in\mathbb{N}\right\}
e pede para mostrar que \sup C = 2.
O conteúdo envolvido é ordem em \mathbb{R}, definição de cota superior e mínimos limites superiores, e manipulação de sequências simples.

Passo 2

Mostramos que 2 é uma cota superior de C. Para isso basta ver que, para todo n\in\mathbb{N},
\frac{4n}{2n+1} < 2.
De fato,
\frac{4n}{2n+1} < 2 \;\Longleftrightarrow\; 4n < 2\,(2n+1) \;\Longleftrightarrow\; 4n < 4n + 2,
o que é verdadeiro. Portanto, nenhum elemento de C ultrapassa 2, e 2 é uma cota superior.

Passo 3

Para concluir que 2 é a menor cota superior (isto é, o supremo), precisamos mostrar que, dado qualquer \varepsilon>0, existe n com
\frac{4n}{2n+1} > 2 - \varepsilon.
Note que
\frac{4n}{2n+1} = 2 - \frac{2}{2n+1}.
Queremos
2 - \frac{2}{2n+1} > 2 - \varepsilon \;\Longleftrightarrow\; \frac{2}{2n+1} < \varepsilon \;\Longleftrightarrow\; 2n+1 > \frac{2}{\varepsilon} \;\Longleftrightarrow\; n > \frac{\tfrac{2}{\varepsilon}-1}{2}.
Como \mathbb{N} é infinito, podemos escolher n suficientemente grande para satisfazer essa desigualdade. Assim, para todo \varepsilon>0 há um elemento de C que fica dentro de \varepsilon de 2 por baixo.

Passo 4

Juntando os passos anteriores, 2 é cota superior de C e não há cota superior menor que 2. Logo
\sup C = 2.

Resposta

\sup C = 2

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