Considere C=\left\{\frac{2 n+4}{n+1} ; n \in \mathrm{~N}\right\}. Mostre que \inf \mathrm{C}=2.

Passo 1

O enunciado define
C = \left\{\frac{2n+4}{n+1} \;\bigg|\; n\in\mathbb{N}\right\}
e pede para mostrar que \inf C = 2. Lembrando que \inf C é o maior dos limites inferiores de C, precisamos (i) provar que 2 é um limite inferior de C e (ii) mostrar que nenhum número maior que 2 pode ser um limite inferior.

Passo 2

Mostramos que 2 é um limite inferior, ou seja, \frac{2n+4}{n+1}\ge 2 para todo n\in\mathbb{N}. Observe que
2n+4 = 2(n+1) + 2,
logo
\frac{2n+4}{n+1} = \frac{2(n+1)+2}{n+1} = 2 + \frac{2}{n+1} > 2.
Portanto, para todo n, \frac{2n+4}{n+1}>2, e 2 é de fato um limite inferior de C.

Passo 3

Agora mostramos que 2 é o maior limite inferior. Seja \varepsilon>0. Devemos encontrar a\in C tal que
a < 2 + \varepsilon.
Como
\frac{2n+4}{n+1} = 2 + \frac{2}{n+1},
basta escolher n grande o bastante para que
\frac{2}{n+1} < \varepsilon,
por exemplo qualquer n com n+1 > \frac{2}{\varepsilon}. Então
\frac{2n+4}{n+1} = 2 + \frac{2}{n+1} < 2 + \varepsilon.
Isso mostra que qualquer número >2 falha em ser limite inferior, pois sempre há um elemento de C menor que esse número.

Resposta

\inf C = 2.

Exercícios relacionados