Se A é um subconjunto limitado de R , então \sup A=-\inf (-A).

Passo 1

O enunciado pede para provar que, se A\subset\mathbb{R} é limitado, então
\sup A \;=\; -\inf(-A),
onde definimos
- A \;=\;\{\, -x \mid x\in A\}.
Aqui usamos as definições de supremo (menor cotas superior) e ínfimo (maior cota inferior).

Passo 2

Mostramos primeiro que -\inf(-A) é uma cota superior de A. Seja x\in A. Então -x\in -A, e por definição de ínfimo, temos
\inf(-A)\;\le\;-x.
Multiplicando essa desigualdade por -1 (invertendo o sinal), vem
-\,\inf(-A)\;\ge\;x.
Como isso vale para todo x\in A, -\inf(-A) é de fato uma cota superior de A.

Passo 3

Agora provamos que -\inf(-A) é a menor das cotas superiores de A. Seja M qualquer cota superior de A, isto é, x\le M para todo x\in A. Então para cada x\in A temos -x\ge -M, o que mostra que -M é uma cota inferior de -A. Logo,
- M \;\le\; \inf(-A).
Multiplicando por -1, obtém-se
M\;\ge\;-\,\inf(-A).
Como isso vale para toda cota superior M de A, concluímos que -\inf(-A) é a menor cota superior, ou seja, o supremo de A.

Resposta

\sup A \;=\; -\,\inf(-A).

Exercícios relacionados