Se
é um subconjunto limitado de R , então
.
Passo 1
O enunciado pede para provar que, se
é limitado, então
onde definimos
Aqui usamos as definições de supremo (menor cotas superior) e ínfimo (maior cota inferior).
Passo 2
Mostramos primeiro que
é uma cota superior de
. Seja
. Então
, e por definição de ínfimo, temos
Multiplicando essa desigualdade por
(invertendo o sinal), vem
Como isso vale para todo
,
é de fato uma cota superior de
.
Passo 3
Agora provamos que
é a menor das cotas superiores de
. Seja
qualquer cota superior de
, isto é,
para todo
. Então para cada
temos
, o que mostra que
é uma cota inferior de
. Logo,
Multiplicando por
, obtém-se
Como isso vale para toda cota superior
de
, concluímos que
é a menor cota superior, ou seja, o supremo de
.