Sejam x \in \mathrm{R} e A=\{q \in Q ; x>q\} Mostre que x=\sup A.

Passo 1

O enunciado define o conjunto
A = \{\,q \in \mathbb{Q} \mid x > q\}
para um dado x \in \mathbb{R}, e pede para mostrarmos que
x = \sup A.
O conteúdo principal aqui é a densidade dos racionais em \mathbb{R} e a definição de supremo (mínimo dos limites superiores).

Passo 2

Primeiro mostramos que x é um limite superior (upper bound) de A.
Seja q \in A. Por definição de A, temos q < x. Então, certamente,
q \le x
para todo q \in A. Isso prova que x é um limite superior de A.

Passo 3

Agora mostramos que nenhum número menor que x pode ser um limite superior de A.
Seja y tal que y < x. Pela densidade de \mathbb{Q} em \mathbb{R}, existe um racional q satisfazendo
y < q < x.
Esse q pertence a A (pois q<x) e, ao mesmo tempo, q>y. Logo, y não é um limite superior de A, pois existe elemento de A maior que y.

Resposta

Portanto x é o menor limite superior de A, isto é,
x = \sup A.

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