Sejam
e
Mostre que
.
Passo 1
O enunciado define o conjunto
para um dado
, e pede para mostrarmos que
O conteúdo principal aqui é a densidade dos racionais em
e a definição de supremo (mínimo dos limites superiores).
Passo 2
Primeiro mostramos que
é um limite superior (upper bound) de
.
Seja . Por definição de
, temos
. Então, certamente,
Seja
para todo
. Isso prova que
é um limite superior de
.
Passo 3
Agora mostramos que nenhum número menor que
pode ser um limite superior de
.
Seja tal que
. Pela densidade de
em
, existe um racional
satisfazendo
Seja
Esse
pertence a
(pois
) e, ao mesmo tempo,
. Logo,
não é um limite superior de
, pois existe elemento de
maior que
.
Resposta
Portanto
é o menor limite superior de
, isto é,