Considere uma caixa dágua com raio R=2 m e altura dágua H=4 m. Sabendo que a vazão de saída de água através de um orifício circular de área A=5 cm^2 localizado no fundo da caixa dágua é dada por Q=0,61 A(2 gh)^1 / 2, sendo h a coordenada vertical, calcule o tempo necessário para esvaziar a caixa.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma caixa d’água cilíndrica com raio R = 2,m e altura de água H = 4,m. A vazão de saída da água por um orifício no fundo é dada por Q = 0,61,Araiz2gh, onde A = 5,cm^2, g é a aceleração da gravidade e h é a altura da água no momento. Vamos precisar usar conhecimentos de cálculo diferencial e a equação da continuidade para achar o tempo necessário para esvaziar a caixa.

Passo 2

Primeiro, vamos converter a área do orifício para metros quadrados, porque as outras medidas estão em metros. Sabemos que 1,cm^2 = 10^-4,m^2, então:
A = 5,cm^2 = 5 times 10^-4,m^2

Passo 3

Agora, vamos entender a expressão da vazão Q. Ela representa o volume de água que sai por segundo pelo orifício. A fórmula é:
Q = 0,61,Araiz2gh
Aqui, g é a aceleração da gravidade, que vamos considerar como 9,81,m/s^2, e h varia de 4,m até 0,m conforme a água esvazia.

Passo 4

Sabemos que a vazão Q também pode ser relacionada com a taxa de variação do volume da água na caixa:
Q = -dVdt
O sinal negativo indica que o volume está diminuindo com o tempo. Como a caixa é cilíndrica, o volume V em função da altura h é:
V = pi R^2 h
Derivando em relação ao tempo:
dVdt = pi R^2 dhdt
Então:
Q = -pi R^2 dhdt

Passo 5

Igualando as duas expressões para Q:
0,61,Araiz2gh = -pi R^2 dhdt
Vamos rearranjar para separar as variáveis h e t:
dhdt = -0,61,Araiz2ghpi R^2

Passo 6

Agora, vamos separar as variáveis para integrar:
dhraizh = -0,61,Araiz2gpi R^2 dt
Integrando de h = H = 4,m até h = 0,m e de t = 0 até t = T (tempo total):
integral4^0 h^-1/2 dh = -0,61,Araiz2gpi R^2 integral0^T dt

Passo 7

Calculando as integrais:
2raizh |4^0 = -0,61,Araiz2gpi R^2 T
Substituindo os limites:
2(0) - 2raiz4 = -0,61,Araiz2gpi R^2 T
Simplificando:
-4 = -0,61,Araiz2gpi R^2 T
Cancelando os sinais negativos:
4 = 0,61,Araiz2gpi R^2 T

Passo 8

Agora, resolvemos para T:
T = 4 pi R^20,61,Araiz2g

Passo 9

Vamos substituir os valores:
  • R = 2,m
  • A = 5 times 10^-4,m^2
  • g = 9,81,m/s^2
T = 4 pi (2)^20,61 times 5 times 10^-4 raiz2 times 9,81
Calculando passo a passo:
  1. 2^2 = 4
  2. 4 times pi times 4 = 16pi
  3. raiz2 times 9,81 = raiz19,62 approx 4,429
  4. 0,61 times 5 times 10^-4 times 4,429 approx 0,001357
  5. Finalmente, T approx 16pi0,001357 approx 37.209 / 0,001357 approx 27.390,s

Resposta

O tempo necessário para esvaziar a caixa d’água é aproximadamente 27.390,segundos.

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