Considere uma caixa dágua com raio e altura dágua . Sabendo que a vazão de saída de água através de um orifício circular de área localizado no fundo da caixa dágua é dada por , sendo h a coordenada vertical, calcule o tempo necessário para esvaziar a caixa.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma caixa d’água cilíndrica com raio e altura de água . A vazão de saída da água por um orifício no fundo é dada por , onde , é a aceleração da gravidade e é a altura da água no momento. Vamos precisar usar conhecimentos de cálculo diferencial e a equação da continuidade para achar o tempo necessário para esvaziar a caixa.
Passo 2
Primeiro, vamos converter a área do orifício para metros quadrados, porque as outras medidas estão em metros. Sabemos que , então:
Passo 3
Agora, vamos entender a expressão da vazão . Ela representa o volume de água que sai por segundo pelo orifício. A fórmula é:
Aqui, é a aceleração da gravidade, que vamos considerar como , e varia de até conforme a água esvazia.
Passo 4
Sabemos que a vazão também pode ser relacionada com a taxa de variação do volume da água na caixa:
O sinal negativo indica que o volume está diminuindo com o tempo. Como a caixa é cilíndrica, o volume em função da altura é:
Derivando em relação ao tempo:
Então:
Passo 5
Igualando as duas expressões para :
Vamos rearranjar para separar as variáveis e :
Passo 6
Agora, vamos separar as variáveis para integrar:
Integrando de até e de até (tempo total):
Passo 7
Calculando as integrais:
Substituindo os limites:
2(0) - 2raiz4 = -0,61,Araiz2gpi R^2 T
Simplificando:
-4 = -0,61,Araiz2gpi R^2 T
Cancelando os sinais negativos:
4 = 0,61,Araiz2gpi R^2 T
Passo 8
Agora, resolvemos para T:
T = 4 pi R^20,61,Araiz2g
Passo 9
Vamos substituir os valores:
R = 2,m
A = 5 times 10^-4,m^2
g = 9,81,m/s^2
T = 4 pi (2)^20,61 times 5 times 10^-4 raiz2 times 9,81
Calculando passo a passo:
2^2 = 4
4 times pi times 4 = 16pi
raiz2 times 9,81 = raiz19,62 approx 4,429
0,61 times 5 times 10^-4 times 4,429 approx 0,001357
Finalmente, T approx 16pi0,001357 approx 37.209 / 0,001357 approx 27.390,s
Resposta
O tempo necessário para esvaziar a caixa d’água é aproximadamente 27.390,segundos.