O perfil de velocidade para o escoamento laminar completamente desenvolvido de um fluido newtoniano entre duas grandes placas paralelas é dado por:
onde
é a distância entre as duas placas,
é a velocidade no plano central e y é a coordenada vertical a partir do plano central. Para a largura b da placa, obtenha uma relação para a vazão através das placas.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um fluido newtoniano escoando de forma laminar e totalmente desenvolvida entre duas placas paralelas. A distância entre as placas é
, e a velocidade do fluido varia com a posição vertical
segundo a fórmula:
Queremos encontrar uma relação para a vazão
através das placas, considerando que a largura das placas é
. Para isso, precisamos saber sobre escoamento laminar, perfis de velocidade e como calcular a vazão a partir do perfil de velocidade.
Passo 2
A vazão
é basicamente o volume de fluido que passa por uma seção das placas por unidade de tempo. Para calcular
, vamos integrar a velocidade
ao longo da distância entre as placas e multiplicar pela largura
.
Passo 3
Como o escoamento é simétrico em relação ao plano central (
), podemos simplificar a integração calculando de
a
e depois multiplicando por 2.
Passo 4
Vamos montar a integral para a vazão:
Substituindo a expressão de
:
Passo 5
Simplificamos a integral:
Agora, vamos resolver a integral termo a termo.
Passo 6
Resolvendo a integral:
Calculando cada parte:
Portanto:
Passo 7
Substituindo de volta na expressão da vazão:
Então:
Resposta
A relação para a vazão através das placas é: