O perfil de velocidade para o escoamento laminar completamente desenvolvido de um fluido newtoniano entre duas grandes placas paralelas é dado por:
u(y)=3 cdot u02 cdot[1-(yh)^2]
onde 2 h é a distância entre as duas placas, u0 é a velocidade no plano central e y é a coordenada vertical a partir do plano central. Para a largura b da placa, obtenha uma relação para a vazão através das placas.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um fluido newtoniano escoando de forma laminar e totalmente desenvolvida entre duas placas paralelas. A distância entre as placas é 2h, e a velocidade do fluido varia com a posição vertical y segundo a fórmula:
u(y)=3 cdot u02 cdot[1-(yh)^2]
Queremos encontrar uma relação para a vazão Q através das placas, considerando que a largura das placas é b. Para isso, precisamos saber sobre escoamento laminar, perfis de velocidade e como calcular a vazão a partir do perfil de velocidade.

Passo 2

A vazão Q é basicamente o volume de fluido que passa por uma seção das placas por unidade de tempo. Para calcular Q, vamos integrar a velocidade u(y) ao longo da distância entre as placas e multiplicar pela largura b.

Passo 3

Como o escoamento é simétrico em relação ao plano central ( y=0), podemos simplificar a integração calculando de y=0 a y=h e depois multiplicando por 2.

Passo 4

Vamos montar a integral para a vazão:
Q = b cdot (2 cdot integral0^h u(y) , dy)
Substituindo a expressão de u(y):
Q = b cdot (2 cdot integral0^h 3 u02 [1 - (yh)^2] dy )

Passo 5

Simplificamos a integral:
Q = b cdot 3 u0 cdot integral0^h [1 - (yh)^2] dy
Agora, vamos resolver a integral termo a termo.

Passo 6

Resolvendo a integral:
integral0^h [1 - (yh)^2] dy = integral0^h 1 , dy - integral0^h (yh)^2 dy
Calculando cada parte:
integral0^h 1 , dy = h
integral0^h (yh)^2 dy = 1h^2 integral0^h y^2 dy = 1h^2 cdot [y^33]0^h = h^33 h^2 = h3
Portanto:
integral0^h [1 - (yh)^2] dy = h - h3 = 2h3

Passo 7

Substituindo de volta na expressão da vazão:
Q = b cdot 3 u0 cdot 2h3 = b cdot 2 u0 h
Então:
Q = 2 b u0 h

Resposta

A relação para a vazão através das placas é:
Q = 2 b u0 h

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