Um fluido viscoso está contido entre dois cilindros longos e concêntricos. A geometria do sistema é tal que o escoamento entre os cilindros pode ser aproximado como aquele que ocorre entre duas placas paralelas e infinitas. Determine a expressão que relaciona o torque que deve ser aplicado no cilindro externo para que o cilindro externo apresente velocidade angular
. O cilindro interno é imóvel. Expresse seu resultado em função da geometria do sistema, da viscosidade dinâmica do fluido e da velocidade angular.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem dois cilindros grandes, um dentro do outro, com um fluido viscoso no meio. O cilindro de dentro está parado e o de fora está girando com uma velocidade angular
. Nosso objetivo é descobrir qual é o torque que precisamos aplicar no cilindro externo para fazê-lo girar nessa velocidade. Para resolver isso, vamos usar conceitos de mecânica de fluidos, especificamente o escoamento viscoso entre placas paralelas, e vamos precisar considerar a geometria do sistema e a viscosidade dinâmica do fluido.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar o problema. Embora estejamos lidando com cilindros, a geometria nos permite aproximar o escoamento como se fosse entre duas placas paralelas e infinitas. Isso facilita os cálculos porque a equação da velocidade para escoamento viscoso entre placas é bem conhecida.
Passo 3
Sabemos que, para escoamento laminar entre placas paralelas, a velocidade do fluido varia linearmente entre as placas. A equação da velocidade $ u(y) $ é dada por:
Onde:
- $ \omega $ é a velocidade angular do cilindro externo.
- $ d $ é a distância entre os cilindros (aproximadamente a distância entre as placas).
- $ y $ é a posição perpendicular às placas.
Passo 4
A tensão de cisalhamento $ \tau $ no fluido, que é responsável pelo torque, pode ser encontrada usando a relação da viscosidade dinâmica:
Derivando a equação da velocidade em relação a $ y $:
Portanto,
Como a tensão de cisalhamento é uma força por unidade de área, vamos considerar apenas o valor absoluto, já que estamos interessados na magnitude do torque.
Passo 5
Para encontrar o torque $ \Gamma $, precisamos multiplicar a tensão de cisalhamento pela alavanca e pela área sobre a qual ela atua. A alavanca aqui é a distância média $ \frac{d}{2} $, e a área $ A $ é o perímetro dos cilindros vezes o comprimento $ L $.
Como estamos aproximando para placas infinitas, $ r $ não varia muito, então podemos considerar $ r \approx constante $.
Passo 6
Integrando tudo, o torque $ \Gamma $ é dado por:
Substituindo $ \tau $ e $ A $:
Simplificando:
Passo 7
Finalmente, organizando os termos, temos a expressão final para o torque:
Resposta
O torque necessário para girar o cilindro externo com velocidade angular
é dado por:
onde:
-
é a viscosidade dinâmica do fluido, -
é a distância entre os cilindros, -
é o raio do cilindro externo, -
é o comprimento dos cilindros.