Um fluido viscoso está contido entre dois cilindros longos e concêntricos. A geometria do sistema é tal que o escoamento entre os cilindros pode ser aproximado como aquele que ocorre entre duas placas paralelas e infinitas. Determine a expressão que relaciona o torque que deve ser aplicado no cilindro externo para que o cilindro externo apresente velocidade angular omega. O cilindro interno é imóvel. Expresse seu resultado em função da geometria do sistema, da viscosidade dinâmica do fluido e da velocidade angular.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem dois cilindros grandes, um dentro do outro, com um fluido viscoso no meio. O cilindro de dentro está parado e o de fora está girando com uma velocidade angular omega. Nosso objetivo é descobrir qual é o torque que precisamos aplicar no cilindro externo para fazê-lo girar nessa velocidade. Para resolver isso, vamos usar conceitos de mecânica de fluidos, especificamente o escoamento viscoso entre placas paralelas, e vamos precisar considerar a geometria do sistema e a viscosidade dinâmica do fluido.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o problema. Embora estejamos lidando com cilindros, a geometria nos permite aproximar o escoamento como se fosse entre duas placas paralelas e infinitas. Isso facilita os cálculos porque a equação da velocidade para escoamento viscoso entre placas é bem conhecida.

Passo 3

Sabemos que, para escoamento laminar entre placas paralelas, a velocidade do fluido varia linearmente entre as placas. A equação da velocidade $ u(y) $ é dada por:
u(y)
Onde:
  • $ \omega $ é a velocidade angular do cilindro externo.
  • $ d $ é a distância entre os cilindros (aproximadamente a distância entre as placas).
  • $ y $ é a posição perpendicular às placas.

Passo 4

A tensão de cisalhamento $ \tau $ no fluido, que é responsável pelo torque, pode ser encontrada usando a relação da viscosidade dinâmica:
tau
Derivando a equação da velocidade em relação a $ y $:
tau = mu dudy
Portanto,
y
Como a tensão de cisalhamento é uma força por unidade de área, vamos considerar apenas o valor absoluto, já que estamos interessados na magnitude do torque.

Passo 5

Para encontrar o torque $ \Gamma $, precisamos multiplicar a tensão de cisalhamento pela alavanca e pela área sobre a qual ela atua. A alavanca aqui é a distância média $ \frac{d}{2} $, e a área $ A $ é o perímetro dos cilindros vezes o comprimento $ L $.
Gamma
Como estamos aproximando para placas infinitas, $ r $ não varia muito, então podemos considerar $ r \approx constante $.

Passo 6

Integrando tudo, o torque $ \Gamma $ é dado por:
Gamma
Substituindo $ \tau $ e $ A $:
Gamma = tau cdot d2 cdot A
Simplificando:
tau

Passo 7

Finalmente, organizando os termos, temos a expressão final para o torque:
Gamma = 12 mu omega d pi r L

Resposta

O torque necessário para girar o cilindro externo com velocidade angular omega é dado por:
Gamma = 12 mu omega d pi r L
onde:
  • mu é a viscosidade dinâmica do fluido,
  • d é a distância entre os cilindros,
  • r é o raio do cilindro externo,
  • L é o comprimento dos cilindros.

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