Considere uma caixa de formato cúbico em repouso num referencial. Considere ainda que nesse referencial sua massa de repouso vale m_{0} e sua densidade resulta ser:
\rho_{0}=\frac{m_{0}}{a^{3}}
onde a é a aresta do cubo. (a) Qual é o volume do cubo visto por um observador que se move em relação a caixa com velocidade u na direção do eixo-x? (b) Qual a massa medida por esse observador? (c) Qual é a densidade da caixa, em termos de r h o_{0}, quando é medido por esse observador?

Passo 1

O enunciado trata de uma caixa cúbica de aresta a em repouso num dado referencial, com massa de repouso m_{0} e densidade de repouso
\rho_{0} = \frac{m_{0}}{a^{3}}\,.
Queremos um observador que se move com velocidade u ao longo do eixo x. Vamos usar os efeitos da contração de Lorentz na dimensão x e o conceito de massa relativística m = \gamma\,m_{0}, com
\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{u^{2}}{c^{2}}}}\,.

Passo 2

Como a única direção afetada pela contração é a direção x, a aresta nessa direção encolhe de a para
a_{x}' = \frac{a}{\gamma}\,.
As arestas nas direções y e z permanecem iguais a a. Portanto o volume medido pelo observador em movimento é
V' = a_{x}' \times a \times a = \frac{a}{\gamma}\,a^{2} = \frac{a^{3}}{\gamma}\,.

Passo 3

Para esse mesmo observador, a energia total da caixa é E = \gamma\,m_{0}c^{2}, de modo que a “massa relativística” fica
m' = \frac{E}{c^{2}} = \gamma\,m_{0}\,.

Passo 4

A densidade medida pelo observador em movimento é a razão entre a massa relativística e o volume contraído:
\rho' = \frac{m'}{V'} = \frac{\gamma\,m_{0}}{a^{3}/\gamma} = \gamma^{2}\,\frac{m_{0}}{a^{3}} = \gamma^{2}\,\rho_{0}\,.

Resposta

(a) \displaystyle V' = \frac{a^{3}}{\gamma}.
(b) \displaystyle m' = \gamma\,m_{0}.
(c) \displaystyle \rho' = \gamma^{2}\,\rho_{0}.

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