Um fóton de 250 MeV colide com um próton em repouso. (a) Calcule a perda máxima de energia que o fóton pode sofrer; (b) encontre o comprimento de onda do fóton espalhado.

Passo 1

Resumo do enunciado e conteúdo
Um fóton de energia \,250\\ \mathrm{MeV} incide num próton em repouso e sofre espalhamento Compton. Precisamos usar a fórmula relativística de espalhamento Compton para massa M (aqui, o próton) e calcular
  1. a perda máxima de energia do fóton, que ocorre quando ele é refletido para trás \theta=\pi,
  2. o comprimento de onda do fóton espalhado nessa configuração de energia mínima.

Passo 2

Energia do fóton espalhado e perda de energia máxima
Na dispersão Compton relativística vale
E' \;=\;\frac{E}{1 + \displaystyle\frac{E}{M c^2}\,(1-\cos\theta)}
onde E é a energia inicial do fóton, E' a energia final, M c^2 a energia de repouso do alvo. A perda de energia é
\Delta E = E - E'.
O máximo de \Delta E ocorre para \theta=\pi, logo 1-\cos\theta=2, e
E'_{\min} =\frac{E}{1 + 2\,\frac{E}{M c^2}} \;\Longrightarrow\; \Delta E_{\max} =E - E'_{\min} =E\;\Biggl(1 - \frac{1}{1 + 2\,\frac{E}{M c^2}}\Biggr).

Passo 3

Cálculo numérico de \Delta E_{\max}
Para o próton M c^2=938\\ \mathrm{MeV} e E=250\\ \mathrm{MeV}:
2\,\frac{E}{M c^2} =2\;\frac{250}{938} \approx0{,}5337, \quad 1 + 2\,\frac{E}{M c^2}\approx1{,}5337.
Então
\Delta E_{\max} =250\;\Bigl(1 - \frac{1}{1{,}5337}\Bigr) =250\;\frac{0{,}5337}{1{,}5337} \approx87{,}0\\ \mathrm{MeV}.

Passo 4

Comprimento de onda do fóton espalhado
A energia do fóton espalhado nesse caso é
E'_{\min}=E - \Delta E_{\max}\approx250 - 87{,}0=163{,}0\\ \mathrm{MeV}.
O comprimento de onda associado é
\lambda' =\frac{h c}{E'_{\min}},
com h c=1{,}240\times10^{-12}\,\mathrm{MeV\cdot m}. Logo
\lambda' =\frac{1{,}240\times10^{-12}}{163{,}0} \approx7{,}6\times10^{-15}\\ \mathrm{m}.

Resposta

(a) \Delta E_{\max}\approx87{,}0\\ \mathrm{MeV}.
(b) \lambda'\approx7{,}6\times10^{-15}\\ \mathrm{m}.

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