Obtenha os limites da radiância espectral, obtida por Planck, nos casos:
(a) \nu \longrightarrow 0

Passo 1

O enunciado pede o limite da radiância espectral de Planck
B_{\nu}(T) \;=\;\frac{2\,h\,\nu^{3}}{c^{2}}\;\frac{1}{\exp\bigl(\frac{h\nu}{kT}\bigr)-1}
quando \nu\to0. O conteúdo necessário é análise de limites e expansão em série de Taylor da função exponencial.

Passo 2

Escrevemos a lei de Planck em função de \nu:
B_{\nu}(T) \;=\;\frac{2\,h\,\nu^{3}}{c^{2}}\;\frac{1}{e^{x}-1} \quad\text{com}\quad x=\frac{h\nu}{kT}.

Passo 3

Para \nu\to0, temos x\to0. Usamos a expansão
e^{x}-1 = x + O(x^{2}),
ou seja, para pequeno x, e^{x}-1\approx x.

Passo 4

Substituindo e^{x}-1\approx x em B_{\nu}(T) e lembrando x=\tfrac{h\nu}{kT}, obtém-se
B_{\nu}(T)\;\approx\;\frac{2\,h\,\nu^{3}}{c^{2}}\;\frac{1}{\frac{h\nu}{kT}} =\frac{2\,h\,\nu^{3}}{c^{2}}\;\frac{kT}{h\nu} =\frac{2\,kT\,\nu^{2}}{c^{2}}.

Resposta

\lim_{\nu\to0}B_{\nu}(T) =\frac{2\,kT\,\nu^{2}}{c^{2}}.

Exercícios relacionados