Considere que uma espaçonave se afasta da terra com uma velocidade de 0,3 c. Uma luz no foguete parece azul aos passageiros da espaçonave. Que cor pareceria para um observador na terra? Justifique matematicamente e conceitualmente.

Passo 1

O enunciado diz que uma espaçonave se afasta da Terra com velocidade v=0,3\,c e que, no referencial do foguete, a luz emitida parece azul. Vamos usar o efeito Doppler relativístico para luz (redshift quando o objeto se afasta) para encontrar qual cor essa luz terá no referencial da Terra.

Passo 2

Em relatividade a frequência observada f_{\mathrm{obs}} de uma fonte que se afasta com velocidade v=\beta\,c é dada por
f_{\mathrm{obs}} \;=\; f_{\mathrm{em}}\,\sqrt{\frac{1-\beta}{1+\beta}}
onde f_{\mathrm{em}} é a frequência no referencial da fonte e \beta=0,3.
Como \lambda=c/f, a relação para o comprimento de onda observado \lambda_{\mathrm{obs}} em função do emitido \lambda_{\mathrm{em}} fica
\lambda_{\mathrm{obs}} =\lambda_{\mathrm{em}} \sqrt{\frac{1+\beta}{1-\beta}}.
Substituindo \beta=0,3:
\sqrt{\frac{1+0,3}{1-0,3}} =\sqrt{\frac{1,3}{0,7}} \approx1,363.

Passo 3

Se a luz azul típica tem \lambda_{\mathrm{em}}\approx450\\ \mathrm{nm}, então
\lambda_{\mathrm{obs}} \approx450\\ \mathrm{nm}\times1,363 \approx614\\ \mathrm{nm}.
Um comprimento de onda \lambda\approx614\\ \mathrm{nm} está na faixa do laranja-avermelhado do espectro visível. Conceitualmente, isso ocorre porque a fonte se afasta de nós e a luz sofre redshift.

Resposta

A luz que parece azul aos passageiros (cerca de 450\\ \mathrm{nm}) será vista da Terra como laranja-avermelhada (aproximadamente 614\\ \mathrm{nm}).

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