Considere r(t)=raiz2 cos (t) i+t j+raiz2 sen(t) k.
Calcule o comprimento de arco da curva quando 0 <= t <= 2 pi.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para calcular o comprimento de arco da curva dada por r(t) = raiz2 cos(t) i + t j + raiz2 sin(t) k no intervalo de 0 <= t <= 2pi. Isso está relacionado ao cálculo vetorial, especificamente ao comprimento de arco de uma curva parametrizada.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar a derivada da função vetor r(t) em relação a t. Isso nos dará a velocidade vetorial da curva.
r,'(t) = ddt ( raiz2 cos(t) i + t j + raiz2 sin(t) k )
Derivando cada componente:
r,'(t) = -raiz2 sin(t) i + 1 j + raiz2 cos(t) k

Passo 3

Agora, vamos calcular o módulo dessa derivada, que representa a velocidade escalar da curva. A fórmula para o módulo de um vetor v = a i + b j + c k é:
|v| = raiza^2 + b^2 + c^2
Aplicando isso à r,'(t):
|r,'(t)| = raiz (-raiz2 sin(t))^2 + (1)^2 + (raiz2 cos(t))^2
Simplificando:
|r,'(t)| = raiz 2 sin^2(t) + 1 + 2 cos^2(t)

Passo 4

Vamos simplificar a expressão dentro da raiz:
2 sin^2(t) + 2 cos^2(t) + 1 = 2 (sin^2(t) + cos^2(t)) + 1
Sabemos que sin^2(t) + cos^2(t) = 1, então:
2(1) + 1 = 3
Portanto:
|r,'(t)| = raiz3

Passo 5

Agora, para encontrar o comprimento de arco S, usamos a fórmula:
S = integrala^b |r,'(t)| , dt
Substituindo os valores que encontramos e os limites do intervalo:
S = integral0^2pi raiz3 , dt = raiz3 integral0^2pi dt

Passo 6

Calculando a integral:
S = raiz3 [ t ]0^2pi = raiz3 (2pi - 0) = 2pi raiz3

Resposta

O comprimento de arco da curva no intervalo de 0 <= t <= 2pi é 2pi raiz3.

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