Considere
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Calcule o comprimento de arco da curva quando
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Calcule o comprimento de arco da curva quando
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para calcular o comprimento de arco da curva dada por
no intervalo de
. Isso está relacionado ao cálculo vetorial, especificamente ao comprimento de arco de uma curva parametrizada.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar a derivada da função vetor
em relação a
. Isso nos dará a velocidade vetorial da curva.
Derivando cada componente:
Passo 3
Agora, vamos calcular o módulo dessa derivada, que representa a velocidade escalar da curva. A fórmula para o módulo de um vetor
é:
Aplicando isso à
:
Simplificando:
Passo 4
Vamos simplificar a expressão dentro da raiz:
Sabemos que
, então:
Portanto:
Passo 5
Agora, para encontrar o comprimento de arco
, usamos a fórmula:
Substituindo os valores que encontramos e os limites do intervalo:
Passo 6
Calculando a integral:
Resposta
O comprimento de arco da curva no intervalo de
é
.