Considere r(t)=raizt i+raiz[3]t^2 j+(1 / t) k. Calcule a integral integral1^2 r(t) d t.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular a integral da função vetorial r(t) = raizt i + raiz[3]t^2 j + 1t k no intervalo de t = 1 até t = 2. Isso envolve conceitos de cálculo integral aplicados a vetores. Para resolver isso, vamos integrar cada componente da função vetorial separadamente em relação a t no intervalo dado.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as três componentes da função r(t):
  • Componente na direção i: raizt = t^1/2
  • Componente na direção j: raiz[3]t^2 = t^2/3
  • Componente na direção k: 1t = t^-1

Passo 3

Agora, vamos lembrar que a integral de uma função vetorial r(t) de t = a até t = b é dada pela integral de cada componente separadamente. Ou seja:
integrala^b r(t) , dt = ( integrala^b ri(t) , dt ) i + ( integrala^b rj(t) , dt ) j + ( integrala^b rk(t) , dt ) k

Passo 4

Vamos integrar cada componente separadamente:
  1. Componente i:
integral1^2 t^1/2 , dt
A integral de t^n é t^n+1n+1, então:
t^3/23/2 g|1^2 = 23 t^3/2 g|1^2 = 23 (2^3/2 - 1^3/2)
Sabendo que 2^3/2 = 2 raiz2 e 1^3/2 = 1, temos:
23 (2 raiz2 - 1) = 4 raiz2 - 23
  1. Componente j:
integral1^2 t^2/3 , dt
Aplicando a mesma regra:
t^5/35/3 g|1^2 = 35 t^5/3 g|1^2 = 35 (2^5/3 - 1^5/3)
Sabendo que 2^5/3 = 2^2 cdot 2^1/3 = 4 cdot 2^1/3 e 1^5/3 = 1, temos:
35 (4 cdot 2^1/3 - 1) = 12 cdot 2^1/3 - 35
  1. Componente k:
integral1^2 t^-1 , dt
A integral de t^-1 é ln|t|, então:
ln t g|1^2 = ln 2 - ln 1
Como ln 1 = 0, fica:
ln 2

Resposta

A integral integral1^2 r(t) , dt é igual a:
( 4 raiz2 - 23 ) i + ( 12 cdot 2^1/3 - 35 ) j + ln 2 , k

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