Considere r(t)=raiz2 cos (t) i+t j+raiz2 sen(t) k.
Determine o vetor tangente unitário T(t).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá uma função vetorial r(t) = raiz2 cos(t) i + t j + raiz2 sin(t) k. Nosso objetivo é encontrar o vetor tangente unitário T(t). Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente derivadas de vetores e normalização.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada da função r(t) em relação a t, que nos dá o vetor velocidade r'(t). A derivada de cada componente é:
r'(t) = ddt ( raiz2 cos(t) ) i + ddt (t) j + ddt ( raiz2 sin(t) ) k
Calculando cada derivada:
r'(t) = -raiz2 sin(t) i + 1 j + raiz2 cos(t) k

Passo 3

Agora, precisamos calcular o módulo (ou norma) do vetor velocidade r'(t). A norma de um vetor v = ai + bj + ck é dada por:
|v| = raiza^2 + b^2 + c^2
Aplicando isso ao nosso r'(t):
|r'(t)| = raiz(-raiz2 sin(t))^2 + (1)^2 + (raiz2 cos(t))^2
|r'(t)| = raiz2 sin^2(t) + 1 + 2 cos^2(t)

Passo 4

Perceba que podemos simplificar a expressão dentro da raiz usando a identidade trigonométrica sin^2(t) + cos^2(t) = 1:
2 sin^2(t) + 2 cos^2(t) = 2 (sin^2(t) + cos^2(t)) = 2 times 1 = 2
Então:
|r'(t)| = raiz2 + 1 = raiz3

Passo 5

Agora que temos o vetor velocidade r'(t) e sua norma, podemos encontrar o vetor tangente unitário T(t). A definição de vetor tangente unitário é:
T(t) = r'(t)|r'(t)|
Substituindo os valores que encontramos:
T(t) = -raiz2 sin(t) i + 1 j + raiz2 cos(t) kraiz3

Resposta

O vetor tangente unitário é:
T(t) = -raiz2 sin(t)raiz3 i + 1raiz3 j + raiz2 cos(t)raiz3 k

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