Considere r(t)=raiz2 cos (t) i+t j+raiz2 sen(t) k.
Determine o vetor normal unitário N(t).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um vetor posição dado por r(t) = raiz2 cos(t) i + t j + raiz2 sin(t) k. Nosso objetivo aqui é encontrar o vetor normal unitário N(t). Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, como derivadas de vetores e normalização. Vamos precisar calcular a derivada de r(t) para achar o vetor tangente e, depois, a derivada desse vetor tangente para chegar no vetor normal.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada de r(t), que nos dá o vetor velocidade ou vetor tangente T(t). Vamos derivar cada componente de r(t) em relação a t:
r'(t) = ddt ( raiz2 cos(t) ) i + ddt (t) j + ddt ( raiz2 sin(t) ) k
Calculando cada derivada:
r'(t) = -raiz2 sin(t) i + 1 j + raiz2 cos(t) k

Passo 3

Agora, precisamos normalizar esse vetor tangente para obter o vetor unitário T(t). Para isso, calculamos o módulo de r'(t):
|r'(t)| = raiz (-raiz2 sin(t))^2 + (1)^2 + (raiz2 cos(t))^2 = raiz2 sin^2(t) + 1 + 2 cos^2(t)
Usamos a identidade trigonométrica sin^2(t) + cos^2(t) = 1:
|r'(t)| = raiz2(sin^2(t) + cos^2(t)) + 1 = raiz2 cdot 1 + 1 = raiz3
Então, o vetor tangente unitário é:
T(t) = r'(t)|r'(t)| = -raiz2 sin(t) i + j + raiz2 cos(t) k raiz3

Passo 4

Agora, para encontrar o vetor normal N(t), vamos derivar T(t) em relação a t e depois normalizar o resultado. Primeiramente, calculamos T'(t):
T'(t) = ddt ( -raiz2 sin(t) raiz3 i + 1raiz3 j + raiz2 cos(t) raiz3 k )
Derivando cada componente:
T'(t) = -raiz2 cos(t) raiz3 i + 0 j + -raiz2 sin(t) raiz3 k

Passo 5

Agora, vamos normalizar T'(t) para obter N(t). Primeiro, calculamos o módulo de T'(t):
|T'(t)| = raiz ( -raiz2 cos(t) raiz3 )^2 + 0^2 + ( -raiz2 sin(t) raiz3 )^2 = raiz 2 cos^2(t)3 + 2 sin^2(t)3 = raiz 2 (cos^2(t) + sin^2(t)) 3 = raiz 23 = raiz6 3
Então, o vetor normal unitário é:
N(t) = T'(t) |T'(t)| = -raiz2 cos(t) raiz3 i + -raiz2 sin(t) raiz3 k raiz6 3 = -raiz2 cos(t) i - raiz2 sin(t) k raiz3 cdot 3raiz6 = -raiz2 cos(t) i - raiz2 sin(t) k raiz2 = -cos(t) i - sin(t) k

Resposta

O vetor normal unitário é N(t) = -cos(t) i - sin(t) k.

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