Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um vetor posição dado por . Nosso objetivo aqui é encontrar o vetor normal unitário . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, como derivadas de vetores e normalização. Vamos precisar calcular a derivada de para achar o vetor tangente e, depois, a derivada desse vetor tangente para chegar no vetor normal.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada de , que nos dá o vetor velocidade ou vetor tangente . Vamos derivar cada componente de em relação a :
Calculando cada derivada:
Passo 3
Agora, precisamos normalizar esse vetor tangente para obter o vetor unitário . Para isso, calculamos o módulo de :
Usamos a identidade trigonométrica :
Então, o vetor tangente unitário é:
Passo 4
Agora, para encontrar o vetor normal , vamos derivar em relação a e depois normalizar o resultado. Primeiramente, calculamos :
Derivando cada componente:
Passo 5
Agora, vamos normalizar para obter . Primeiro, calculamos o módulo de :
Então, o vetor normal unitário é:
N(t) = T'(t) |T'(t)| = -raiz2 cos(t) raiz3 i + -raiz2 sin(t) raiz3 k raiz6 3 = -raiz2 cos(t) i - raiz2 sin(t) k raiz3 cdot 3raiz6 = -raiz2 cos(t) i - raiz2 sin(t) k raiz2 = -cos(t) i - sin(t) k
Resposta
O vetor normal unitário é N(t) = -cos(t) i - sin(t) k.