Considere r(t)=t i+3 cos (t) j+3 sen(t) k.
Calcule o comprimento de arco da curva quando 0 <= t <= 2 pi;

Passo 1

O enunciado dá a curva espacial
r(t)=t,i+3cos(t),j+3sin(t),k
no intervalo 0<= t<=2pi e pede o comprimento de arco. O conteúdo aqui é a fórmula de comprimento de arco de uma curva parametrizada, que diz
L=integrala^bllVert r,'(t)rrVert,dt

Passo 2

Calculamos a derivada de cada componente para obter r,'(t):
r,'(t)=ddtl(t,,3cos t,,3sin tr) =l(1,,-3sin t,,3cos tr)

Passo 3

Agora encontramos a norma de r,'(t):
llVert r,'(t)rrVert =raiz1^2+(-3sin t)^2+(3cos t)^2 =raiz1+9sin^2t+9cos^2t =raiz1+9 =raiz10
Como isso é constante, o comprimento de arco fica
L=integral0^2piraiz10,dt =raiz10,l[tr]0^2pi =2piraiz10

Resposta

O comprimento de arco é 2piraiz10.

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