Considere r(t)=(1-t) i+(3 raizt) j+(1 / t^2) k. Calcule a integral integral1^2 r(t) d t.

Passo 1

O enunciado nos dá uma função vetorial vec r(t) em que
vec r(t) = (1 - t),vec i ;+; 3raiz t,vec j ;+; 1t^2,vec k
e pede a integral de vec r(t) de t=1 a t=2. O conteúdo é integração de funções vetoriais componente a componente.

Passo 2

Para a componente vec i, calculamos
integral1^2(1 - t),dt
A primitiva de 1 - t é t - tfract^22. Avaliando de 1 a 2:
l[t - tfract^22r]1^2 = l(2 - tfrac42r) - l(1 - tfrac12r) = (2 - 2) - tfrac12 = -tfrac12

Passo 3

Para a componente vec j, calculamos
integral1^23,t^1/2,dt
Colocando 3 em evidência, a primitiva de t^1/2 é tfrac23t^3/2, daí
3cdot tfrac23t^3/2 = 2t^3/2
Avaliando de 1 a 2:
2l(2^3/2 - 1^3/2r) = 2l(2raiz2 - 1r) = 4raiz2 - 2

Passo 4

Para a componente vec k, calculamos
integral1^2t^-2,dt
A primitiva de t^-2 é -t^-1. Avaliando de 1 a 2:
l[-t^-1r]1^2 = l(-tfrac12r) - l(-1r) = tfrac12

Passo 5

Agora reunimos os resultados das três componentes para obter
integral1^2vec r(t),dt = l(-tfrac12r),vec i ;+; l(4raiz2 - 2r),vec j ;+; l(tfrac12r),vec k

Resposta

integral1^2vec r(t),dt = -tfrac12,vec i + (4raiz2 - 2),vec j + tfrac12,vec k

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