Encontre o polinômio de Taylor Pn(x) para a função f em a.
f(x)=ln x, a=1, n=4

Passo 1

O enunciado pede o polinômio de Taylor de ordem n=4 para a função f(x)=ln x em torno de a=1. Vamos usar a definição
P4(x)=sumk=0^4f^(k)(1)k!(x-1)^k,
calculando as derivadas sucessivas de f em x=1.

Passo 2

Primeiro encontramos uma expressão geral para as derivadas de ordem k>=1. Como
f(x)=ln x, f'(x)=1x, f''(x)=-1x^2, f'''(x)=2x^3,;dots
vemos que
f^(k)(x)=(-1)^,k-1(k-1)!;x^-k

Passo 3

Agora avaliamos em x=1:
f(1)=ln1=0, f'(1)=1, f''(1)=-1, f'''(1)=2, f''''(1)=-6

Passo 4

Substituindo em
P4(x)=sumk=0^4f^(k)(1)k!(x-1)^k
obtemos
P4(x) =0+11!(x-1)+-12!(x-1)^2+23!(x-1)^3+-64!(x-1)^4
Simplificando os coeficientes, resulta
P4(x) =(x-1)-12,(x-1)^2+13,(x-1)^3-14,(x-1)^4

Resposta

P4(x) =(x-1)-12,(x-1)^2+13,(x-1)^3-14,(x-1)^4

Exercícios relacionados